Em uma caixa com onze peças, quatro delas são defeituosas. São selecionadas duas peças ao acaso, sem reposição.
a) obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas;
b) obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) obtenha a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.
a) obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas;
b) obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) obtenha a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
- Há uma caixa com
peças no total. - Destas,
são defeituosas. - As restantes, portanto, são
não defeituosas. - São selecionadas
peças ao acaso, sem reposição.
O enunciado pede:
a) a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas;
b) a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.
a) a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas;
b) a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.
Passo 2
Conceito e estratégia que vou usar (explicadinho e sem jargão): quando escolhemos
peças de
sem reposição todas as escolhas possíveis, considerando apenas quais peças foram escolhidas (não a ordem), formam o espaço amostral. O número de maneiras de escolher
objetos dentre
sem importar a ordem é dado pelo símbolo de combinação
onde
(fatorial) significa
. Esse
conta quantas combinações distintas existem. A probabilidade de um evento (quando todas as combinações são igualmente prováveis) é
Outra forma igualmente válida é o raciocínio sequencial sem reposição (multiplicar as probabilidades passo a passo), e mostrarei ambas quando for útil.
Passo 3
Calcular o número total de maneiras de escolher
peças dentre
:
Portanto, o espaço amostral tem
combinações igualmente prováveis.
Passo 4
(a) Probabilidade de as duas peças serem defeituosas — método das combinações.
Número de maneiras de escolher
defeituosas dentre as
:
Logo a probabilidade é
Vou também mostrar o método sequencial (é bom para decorar): primeiro tirar uma defeituosa tem probabilidade
; como não há reposição, após tirar uma defeituosa restam
defeituosas entre
peças, então a segunda tem probabilidade
. Multiplicando:
que é o mesmo resultado — boa checagem.
Passo 5
Converter a resposta em decimal (opcional, só para intuir o valor):
Passo 6
(b) Probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas — método das combinações.
Número de maneiras de escolher
não defeituosas dentre as
:
Logo a probabilidade é
Método sequencial também confirma: primeiro não defeituosa
, depois
, produto
Passo 7
Converter a resposta em decimal:
Passo 8
(c) Probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa.
É muito prático usar o complemento: “pelo menos uma defeituosa” é o contrário de “nenhuma defeituosa” (ou seja, ambas não defeituosas). Assim
Como já calculamos
, temos
Para checar, posso somar as probabilidades de “exatamente uma defeituosa” e “duas defeituosas”:
- Exatamente uma defeituosa: escolher
defeituosa dentre e boa dentre dá combinações, logo probabilidade . - Duas defeituosas já é
.
Somando:, bate com o complemento — checagem ok.
Passo 9
Converter a resposta em decimal:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)