Em uma caixa com onze peças, quatro delas são defeituosas. São selecionadas duas peças ao acaso, sem reposição.
a) obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas;
b) obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) obtenha a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados do enunciado:
  • Há uma caixa com 11 peças no total.
  • Destas, 4 são defeituosas.
  • As restantes, portanto, são 11-4=7 não defeituosas.
  • São selecionadas 2 peças ao acaso, sem reposição.
O enunciado pede:
a) a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas;
b) a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas;
c) a probabilidade de pelo menos uma ser defeituosa.

Passo 2

Conceito e estratégia que vou usar (explicadinho e sem jargão): quando escolhemos 2 peças de 11 sem reposição todas as escolhas possíveis, considerando apenas quais peças foram escolhidas (não a ordem), formam o espaço amostral. O número de maneiras de escolher k objetos dentre n sem importar a ordem é dado pelo símbolo de combinação
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Esse \binom{n}{k} conta quantas combinações distintas existem. A probabilidade de um evento (quando todas as combinações são igualmente prováveis) é
\text{Probabilidade}=\frac{\text{número de combinações favoráveis}}{\text{número total de combinações}}.úçõáúçõ
Outra forma igualmente válida é o raciocínio sequencial sem reposição (multiplicar as probabilidades passo a passo), e mostrarei ambas quando for útil.

Passo 3

Calcular o número total de maneiras de escolher 2 peças dentre 11:
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2\cdot1}=55.
Portanto, o espaço amostral tem 55 combinações igualmente prováveis.

Passo 4

(a) Probabilidade de as duas peças serem defeituosas — método das combinações.
Número de maneiras de escolher 2 defeituosas dentre as 4:
\binom{4}{2}=\frac{4\cdot3}{2\cdot1}=6.
Logo a probabilidade é
\frac{\binom{4}{2}}{\binom{11}{2}}=\frac{6}{55}.
Vou também mostrar o método sequencial (é bom para decorar): primeiro tirar uma defeituosa tem probabilidade \dfrac{4}{11}; como não há reposição, após tirar uma defeituosa restam 3 defeituosas entre 10 peças, então a segunda tem probabilidade \dfrac{3}{10}. Multiplicando:
\frac{4}{11}\cdot\frac{3}{10}=\frac{12}{110}=\frac{6}{55},
que é o mesmo resultado — boa checagem.

Passo 5

Converter a resposta em decimal (opcional, só para intuir o valor):
\frac{6}{55}\approx 0,10909\ldots \approx 0,1091.

Passo 6

(b) Probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas — método das combinações.
Número de maneiras de escolher 2 não defeituosas dentre as 7:
\binom{7}{2}=\frac{7\cdot6}{2\cdot1}=21.
Logo a probabilidade é
\frac{\binom{7}{2}}{\binom{11}{2}}=\frac{21}{55}.
Método sequencial também confirma: primeiro não defeituosa \dfrac{7}{11}, depois \dfrac{6}{10}, produto
\frac{7}{11}\cdot\frac{6}{10}=\frac{42}{110}=\frac{21}{55}.

Passo 7

Converter a resposta em decimal:
\frac{21}{55}\approx 0,38181\ldots \approx 0,3818.

Passo 8

(c) Probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa.
É muito prático usar o complemento: “pelo menos uma defeituosa” é o contrário de “nenhuma defeituosa” (ou seja, ambas não defeituosas). Assim
\text{P(pelo menos uma defeituosa)}=1-\text{P(ambas não defeituosas)}.ã
Como já calculamos \text{P(ambas não defeituosas)}=\dfrac{21}{55}ã, temos
1-\frac{21}{55}=\frac{55-21}{55}=\frac{34}{55}.
Para checar, posso somar as probabilidades de “exatamente uma defeituosa” e “duas defeituosas”:
  • Exatamente uma defeituosa: escolher 1 defeituosa dentre 4 e 1 boa dentre 7 \binom{4}{1}\binom{7}{1}=4\cdot7=28 combinações, logo probabilidade \dfrac{28}{55}.
  • Duas defeituosas já é \dfrac{6}{55}.
    Somando: \dfrac{28}{55}+\dfrac{6}{55}=\dfrac{34}{55}, bate com o complemento — checagem ok.

Passo 9

Converter a resposta em decimal:
\frac{34}{55}\approx 0,61818\ldots \approx 0,6182.

Resposta

a) \dfrac{6}{55}\approx 0,1091
b) \dfrac{21}{55}\approx 0,3818
c) \dfrac{34}{55}\approx 0,6182

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