- Uma caixa de papelão com base quadrada e sem tampa é feita de 648 centímetros quadrados de papelão. Determine, usando o cálculo diferencial, as dimensões da caixa de tal modo que seu volume seja máximo.
Passo 1
O exercício pede uma caixa sem tampa de base quadrada feita com 648 cm² de papelão, e a gente quer maximizar o volume usando cálculo diferencial. Vamos chamar de
a medida do lado da base (em cm) e de
a altura (em cm). O conteúdo é otimização com restrição de área superficial. A área total da caixa (sem tampa) é a soma da base e das quatro faces laterais, ou seja:
Essa será nossa condição para depois expressar
Passo 2
Isolando
na equação da área:
Agora, o volume da caixa é
Substituindo
:
Passo 3
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Agora calculamos
usando a expressão isolada:
Para confirmar que é máximo, podemos ver que
Passo 5
Portanto, as dimensões que maximizam o volume são: base de lado
cm e altura
cm.
Resposta
Lado da base:
cm; Altura:
cm.