1. Uma caixa de papelão com base quadrada e sem tampa é feita de 648 centímetros quadrados de papelão. Determine, usando o cálculo diferencial, as dimensões da caixa de tal modo que seu volume seja máximo.

Passo 1

O exercício pede uma caixa sem tampa de base quadrada feita com 648 cm² de papelão, e a gente quer maximizar o volume usando cálculo diferencial. Vamos chamar de x a medida do lado da base (em cm) e de y a altura (em cm). O conteúdo é otimização com restrição de área superficial. A área total da caixa (sem tampa) é a soma da base e das quatro faces laterais, ou seja:
x^2 + 4xy = 648
Essa será nossa condição para depois expressar y em função de x.

Passo 2

Isolando y na equação da área:
4xy = 648 - x^2 Longrightarrow y = 648 - x^24x = 162x - x4
Agora, o volume da caixa é
V = x^2 y
Substituindo y:
V(x) = x^2l(162x - x4r) = 162x - x^34

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos V(x) em relação a x e igualamos a zero:
V'(x) = 162 - 3x^24 = 0 Longrightarrow 3x^24 = 162 Longrightarrow x^2 = 216 Longrightarrow x = raiz216 = 6raiz6

Passo 4

Agora calculamos y usando a expressão isolada:
y = 162x - x4 = 1626raiz6 - 6raiz64 = 27raiz6 - 3raiz62 = 3raiz6
Para confirmar que é máximo, podemos ver que V''(x) = -tfrac3x2, que é negativo em x>0, garantindo um ponto de máximo.

Passo 5

Portanto, as dimensões que maximizam o volume são: base de lado 6raiz6 cm e altura 3raiz6 cm.

Resposta

Lado da base: 6raiz6 cm; Altura: 3raiz6 cm.

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