Determine o que se pede a partir das condições que são dadas
Determine f(x) se

Passo 1

Estamos com a condição f(1/x)=x+raiz1+x^2. O objetivo é encontrar a expressão de f(x). Esse tipo de problema usa mudança de variável para inverter o argumento da função.

Passo 2

Definimos u=1/x. Isso implica x=1/u. Substituindo na condição original, temos
f(u)=fl(1/(1/u)r)=1u+raiz1+1u^2

Passo 3

Agora simplificamos a raiz:
raiz1+1u^2=raizu^2+1u^2=raizu^2+1|u|

Passo 4

Substituindo na expressão de f(u), obtemos
f(u)=1u+raizu^2+1|u|

Passo 5

Basta agora trocar u por x e lidar com o valor absoluto. Para x>0, temos:
f(x)=1x+raizx^2+1x=1+raizx^2+1x
Para x<0, |x|=-x e
f(x)=1x+raizx^2+1-x=1-raizx^2+1x

Passo 6

Observação: a função não está definida em x=0, pois o argumento 1/x fica indefinido.

Resposta

Para x>0: f(x)=\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}. Para x<0: f(x)=\frac{1-\sqrt{x^2+1}}{x}, com x\neq0.

Exercícios relacionados