Determine o que se pede a partir das condições que são dadas
Determine f(x) se

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos uma função f tal que para todo x ≠ 0 valha f x+1x=x²+\frac{1}{x²}. O conteúdo é transformação de expressão usando identidades algébricas, e vamos precisar da identidade do quadrado de uma soma.

Passo 2

Seja t = x + \frac{1}{x}. Então queremos expressar x² + \frac{1}{x²} em função de t.
Usando a identidade do quadrado de uma soma temos:
t² = l(x + 1xr)² = x² + 2 + 1x²²²²²
Logo, isolando x² + \frac{1}{x²} vem:
x² + 1x² = t² - 2²²²

Passo 3

Portanto, como f(…) aplicada em t deve dar t²−2, concluímos que f(u) = u² − 2.
Trocando a letra genérica u por x (variável da função), a resposta final é f(x) = x² − 2.

Resposta

f(x) = x² - 2

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