- Uma caixa de papelão com base quadrada e sem tampa é feita numa folha de
de papelão. (a) Determine, usando o cálculo diferencial, as dimensões (altura, largura e profundidade) da caixa de tal modo que seu volume seja máximo. (b) Determine também qual é este volume máximo. Sabe-se que o volume da caixa é dado pelo produto da área da base vezes a altura.
Passo 1
O enunciado pede para construir, a partir de um quadrado de papelão de 20 cm×20 cm, uma caixa sem tampa, cortando quadradinhos de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas, de modo que o volume fique máximo. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas e vamos precisar modelar o volume em função de x, calcular a derivada, achar os pontos críticos e verificar qual deles dá volume máximo.
Passo 2
Quando cortamos quadradinhos de lado x, a aresta da base fica com comprimento ,
e a altura da caixa é ,
. Logo, o volume
é dado por:
Passo 3
Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero. Expandindo primeiro,
a derivada é
Passo 4
Então, resolvemos
que simplifica para
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Isso dá
ou
. Como
leva a volume zero, o único candidato viável para máximo é
cm. Para conferir que é um máximo, podemos notar que em
e
o volume também é zero, e entre esses zeros a função atinge um pico em
.
Passo 6
Agora, as dimensões: a altura é
cm e a base é quadrada de lado
E o volume máximo é
Resposta
altura = 10/3 cm, largura = 40/3 cm, profundidade = 40/3 cm; volume máximo = 16000/27 cm³