1. Uma caixa de papelão com base quadrada e sem tampa é feita numa folha de 20 cm times 20 cm de papelão. (a) Determine, usando o cálculo diferencial, as dimensões (altura, largura e profundidade) da caixa de tal modo que seu volume seja máximo. (b) Determine também qual é este volume máximo. Sabe-se que o volume da caixa é dado pelo produto da área da base vezes a altura.

Passo 1

O enunciado pede para construir, a partir de um quadrado de papelão de 20 cm×20 cm, uma caixa sem tampa, cortando quadradinhos de lado x nos quatro cantos e dobrando as abas, de modo que o volume fique máximo. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas e vamos precisar modelar o volume em função de x, calcular a derivada, achar os pontos críticos e verificar qual deles dá volume máximo.

Passo 2

Quando cortamos quadradinhos de lado x, a aresta da base fica com comprimento , 20-2x e a altura da caixa é , x. Logo, o volume V(x) é dado por:
V(x)=x,l(20-2xr)^2

Passo 3

Para encontrar o máximo, calculamos a derivada e igualamos a zero. Expandindo primeiro,
V(x)=x,l(400-80x+4x^2r)=400x-80x^2+4x^3
a derivada é
V'(x)=400-160x+12x^2

Passo 4

Então, resolvemos
400-160x+12x^2=0
que simplifica para
3x^2-40x+100=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=40pmraiz(-40)^2-4cdot3cdot1002cdot3=40pm206

Passo 5

Isso dá x=10 ou x=10/3. Como x=10 leva a volume zero, o único candidato viável para máximo é x=10/3 cm. Para conferir que é um máximo, podemos notar que em x=0 e x=10 o volume também é zero, e entre esses zeros a função atinge um pico em x=10/3.

Passo 6

Agora, as dimensões: a altura é x=10/3 cm e a base é quadrada de lado
20-2x=20-2cdot103=403 cm
E o volume máximo é
Vmax=103l(403r)^2=103cdot16009=1600027 cm^3

Resposta

altura = 10/3 cm, largura = 40/3 cm, profundidade = 40/3 cm; volume máximo = 16000/27 cm³

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