Questão 2

Resolver a equação diferencial seguinte em R :
l (x^2+1) y^prime(x)+4 x y^2(x)=0 y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em ℝ a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial; o conteúdo principal é separação de variáveis em equações diferenciais ordinárias, e vamos precisar saber integrar funções racionais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma separável. Dividindo tudo por x^2+1 e isolando y':
y' + 4xx^2+1,y^2 = 0
ou seja
dydx = -4xx^2+1,y^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
dyy^2 = -4xx^2+1,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados. À esquerda temos integral y^-2dy = -y^-1. À direita, note que integral 4xx^2+1dx = 2ln(x^2+1). Logo:
-1y = -2ln(x^2+1) + C

Passo 5

Reescrevemos isolando 1/y e introduzimos a constante C1:
1y = 2ln(x^2+1) + C1

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Em x=0 temos ln(1)=0, então
12 = C1

Passo 7

Substituindo C1=1/2 na expressão de 1/y e invertendo, obtemos a solução:
1y = 2ln(x^2+1) + tfrac12
y(x) = 12ln(x^2+1) + tfrac12 = 21 + 4ln(x^2+1)

Resposta

y(x)=21 + 4ln(x^2+1)

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