Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial .

Passo 1

A questão pede para resolver a EDO não homogênea de 2ª ordem 2
y″+y′=x+1 com condição inicial y(0)=1, y′(0)=0 usando o método da variação de parâmetros. É um problema de equações lineares com coeficientes constantes, então vamos precisar: colocar na forma padrão y″+p(x)y′+q(x)y=r(x), achar as soluções fundamentais da homogênea, usar variação de parâmetros para obter uma particular e depois aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 2. Assim obtemos:
y''+tfrac12y'=tfracx+12
Dessa forma identificamos p(x)=1/2, q(x)=0 e r(x)=(x+1)/2, e estamos prontos para atacar a homogênea.

Passo 3

A equação homogênea associada é
y''+tfrac12y'=0
que gera a equação característica r²+\tfrac12r=0 ⇒ r( r+1/2)=0. Logo as raízes são r₁=0 e r₂=−1/2. As soluções fundamentais são y₁(x)=1 e y₂(x)=e^{−x/2}.

Passo 4

Para a variação de parâmetros precisamos do wronskiano W(y₁,y₂). Calculamos:
W=y1&y2y1'&y2' =1&e^-x/20&-tfrac12e^-x/2 = -tfrac12e^-x/2

Passo 5

Em seguida, definimos as derivadas das funções auxiliares u₁’(x) e u₂’(x) pelas fórmulas:
u1'=-y2,r(x)W, u2'=y1,r(x)W
Aplicando r(x)=(x+1)/2, y₁=1, y₂=e^{−x/2}, W=−(1/2)e^{−x/2}, obtemos:
u1'=x+1, u2'=-(x+1)e^x/2

Passo 6

Agora integramos para achar u₁ e u₂:
u1=integral(x+1)dx=tfracx^22+x, nu2=-integral(x+1)e^x/2dx=-2(x-1)e^x/2

Passo 7

A solução particular é dada por y_p= u₁y₁+u₂y₂. Logo:
yp=(tfracx^22+x)cdot1+[-2(x-1)e^x/2]cdot e^-x/2 =tfracx^22+x-2(x-1) =tfracx^22-x+2

Passo 8

Portanto a solução geral é
y(x)=C1cdot1+C2e^-x/2+tfracx^22-x+2

Passo 9

Faltam as constantes C₁ e C₂, obtidas das condições iniciais. Calculamos y′(x):
y'(x)=-tfracC22e^-x/2+x-1
Em x=0 temos y(0)=C_1+C_2+2=1 ⇒ C_1+C_2=-1. E y’(0)= -C_2/2 -1=0 ⇒ C_2=-2. Logo C_1=1.

Passo 10

Substituindo em y(x) chega-se à solução particular que satisfaz tudo:
y(x)=tfracx^22 -x+3 -2e^-x/2

Resposta

y(x)=tfracx^22-x+3-2e^-x/2

Exercícios relacionados