Resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial
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Passo 1
A questão pede para resolver a EDO não homogênea de 2ª ordem 2
y″+y′=x+1 com condição inicial y(0)=1, y′(0)=0 usando o método da variação de parâmetros. É um problema de equações lineares com coeficientes constantes, então vamos precisar: colocar na forma padrão y″+p(x)y′+q(x)y=r(x), achar as soluções fundamentais da homogênea, usar variação de parâmetros para obter uma particular e depois aplicar as condições iniciais.
y″+y′=x+1 com condição inicial y(0)=1, y′(0)=0 usando o método da variação de parâmetros. É um problema de equações lineares com coeficientes constantes, então vamos precisar: colocar na forma padrão y″+p(x)y′+q(x)y=r(x), achar as soluções fundamentais da homogênea, usar variação de parâmetros para obter uma particular e depois aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 2. Assim obtemos:
Dessa forma identificamos p(x)=1/2, q(x)=0 e r(x)=(x+1)/2, e estamos prontos para atacar a homogênea.
Passo 3
A equação homogênea associada é
que gera a equação característica r²+\tfrac12r=0 ⇒ r( r+1/2)=0. Logo as raízes são r₁=0 e r₂=−1/2. As soluções fundamentais são y₁(x)=1 e y₂(x)=e^{−x/2}.
Passo 4
Para a variação de parâmetros precisamos do wronskiano W(y₁,y₂). Calculamos:
Passo 5
Em seguida, definimos as derivadas das funções auxiliares u₁’(x) e u₂’(x) pelas fórmulas:
Aplicando r(x)=(x+1)/2, y₁=1, y₂=e^{−x/2}, W=−(1/2)e^{−x/2}, obtemos:
Passo 6
Agora integramos para achar u₁ e u₂:
Passo 7
A solução particular é dada por y_p= u₁y₁+u₂y₂. Logo:
Passo 8
Portanto a solução geral é
Passo 9
Faltam as constantes C₁ e C₂, obtidas das condições iniciais. Calculamos y′(x):
Em x=0 temos y(0)=C_1+C_2+2=1 ⇒ C_1+C_2=-1. E y’(0)= -C_2/2 -1=0 ⇒ C_2=-2. Logo C_1=1.
Passo 10
Substituindo em y(x) chega-se à solução particular que satisfaz tudo: