Uma caixa retangular fechada, para conter
deve ser feita com três tipos de materiais. O material da tampa e da base é de
0,18
\mathrm{cm}^{2}
\mathrm{R} $0,16
\mathrm{cm}^{2}
\mathrm{R} $ 0,12
\mathrm{cm}^{2}$. Ache as dimensões da caixa para que o custo dos materiais usados em sua construção seja mínimo.
Passo 1
O problema pede as dimensões de uma caixa retangular fechada de volume
,c
que minimize o custo dos materiais, sabendo que o topo e a base custam R$0,18/c
, a frente e trás custam R$ 0,16/c
e os outros dois lados custam R$ 0,12/c
. Vamos usar otimização com multiplicadores de Lagrange para minimizar o custo sujeito à restrição de volume.
Passo 2
Denotando as arestas da base por
e
e a altura por
, o volume é
O custo total
é a soma dos custos de cada par de faces:
Simplificando os fatores
:
Passo 3
Construímos a função de Lagrange
e impomos as condições de otimalidade
além de
Passo 4
Das duas primeiras condições igualamos
:
Igualando a primeira e a terceira condição para
:
Passo 5
Substituindo
e
na restrição de volume
:
Passo 6
Então
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são
cm,
cm e
cm.