Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D.
(d) f(x, y)=x y^{2}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de
f(x,y)=x\,y^{2}
no conjunto
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le1\}.
Vamos usar o método padrão: procurar pontos críticos no interior de D e, em seguida, analisar a fronteira (as retas x=0, y=0 e o arco de círculo x^{2}+y^{2}=1 no primeiro quadrante).

Passo 2

No interior de D (onde x>0 e y>0), calculamos o gradiente
\nabla f=(f_{x},f_{y})=(y^{2},\,2x y).
Para ter \nabla f=0 precisamos de
y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad y=0,
o que não está no interior (fica na fronteira). Logo, não há pontos críticos no interior estrito de D.

Passo 3

Analisamos a fronteira x=0 com 0\le y\le1.
Nesse caso
f(0,y)=0\quad\forall y,
então f é constante igual a 0 nessa parte da fronteira.

Passo 4

Analisamos a fronteira y=0 com 0\le x\le1.
Nesse caso
f(x,0)=0\quad\forall x,
ou seja, também dá valor 0.

Passo 5

Falta o arco de círculo x^{2}+y^{2}=1 com x\ge0, y\ge0. Usamos a parametrização
x=\cos\theta,\quad y=\sin\theta,
com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Então
g(\theta)=f(\cos\theta,\sin\theta) =\cos\theta\;\sin^{2}\!\theta.
Derivando em relação a \theta:
g'(\theta) =-\sin\theta\,\sin^{2}\!\theta + \cos\theta\cdot2\sin\theta\cos\theta =\sin\theta\bigl(-\sin^{2}\theta+2\cos^{2}\theta\bigr).
Zeramos g'(\theta)=0: ou \sin\theta=0 (que dá \theta=0 ou \theta=\pi/2, extremos dos intervalos já vistos, onde g=0) ou
-\sin^{2}\theta+2\cos^{2}\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \tan^{2}\theta=2 \quad\Longrightarrow\quad \theta=\arctan(\sqrt{2}).

Passo 6

Em \theta=\arctan(\sqrt{2}) temos
\sin\theta=\sqrt{\frac{2}{3}},\quad \cos\theta=\sqrt{\frac{1}{3}},
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f=\cos\theta\;\sin^{2}\!\theta =\sqrt{\tfrac{1}{3}}\;\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr)^{2} =\sqrt{\tfrac{1}{3}}\;\frac{2}{3} =\frac{2}{3\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{3}}{9}.
Esse valor é positivo e supera todos os valores 0 obtidos nos outros casos.

Resposta

O valor mínimo absoluto é
\min_{D}f=0,
atingido em todos os pontos com x=0 ou y=0 (no interior ou nas interseções com o círculo).
O valor máximo absoluto é
\max_{D}f=\frac{2\sqrt{3}}{9},
atingido no ponto
\bigl(x,y\bigr) =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\,\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr).

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