Determine os valores máximos e mínimos absolutos de
no conjunto
.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede os extremos absolutos de
no conjunto
Vamos usar o método padrão: procurar pontos críticos no interior de
e, em seguida, analisar a fronteira (as retas
,
e o arco de círculo
no primeiro quadrante).
Passo 2
No interior de
(onde
e
), calculamos o gradiente
Para ter
precisamos de
o que não está no interior (fica na fronteira). Logo, não há pontos críticos no interior estrito de
.
Passo 3
Analisamos a fronteira
com
.
Nesse caso
Nesse caso
então
é constante igual a
nessa parte da fronteira.
Passo 4
Analisamos a fronteira
com
.
Nesse caso
Nesse caso
ou seja, também dá valor
.
Passo 5
Falta o arco de círculo
com
,
. Usamos a parametrização
com
. Então
Derivando em relação a
:
Zeramos
: ou
(que dá
ou
, extremos dos intervalos já vistos, onde
) ou
Passo 6
Em
temos
logo
Esse valor é positivo e supera todos os valores
obtidos nos outros casos.
Resposta
O valor mínimo absoluto é
atingido em todos os pontos com
ou
(no interior ou nas interseções com o círculo).
O valor máximo absoluto é
O valor máximo absoluto é
atingido no ponto