Uma caixa retangular fechada, para conter 16 \mathrm{~cm}^{3} deve ser feita com três tipos de materiais. O material da tampa e da base é de \mathrm{R} \ 0,18 por\mathrm{cm}^{2} , o custo do material das partes da frente e de trás é deáé\mathrm{R} $0,16 por\mathrm{cm}^{2} e o custo do material para os outros dois lados é deé\mathrm{R} $ 0,12 por\mathrm{cm}^{2}$. Ache as dimensões da caixa para que o custo dos materiais usados em sua construção seja mínimo.

Passo 1

O problema pede as dimensões de uma caixa retangular fechada de volume 16,c m^{3} que minimize o custo dos materiais, sabendo que o topo e a base custam R$0,18/c m^{2}, a frente e trás custam R$ 0,16/c m^{2} e os outros dois lados custam R$ 0,12/c m^{2}. Vamos usar otimização com multiplicadores de Lagrange para minimizar o custo sujeito à restrição de volume.

Passo 2

Denotando as arestas da base por x e y e a altura por z, o volume é
xyz = 16.
O custo total C é a soma dos custos de cada par de faces:
C = 2\cdot(xy)\cdot0{,}18 \;+\; 2\cdot(xz)\cdot0{,}16 \;+\; 2\cdot(yz)\cdot0{,}12.
Simplificando os fatores 2:
C = 0{,}36\,xy \;+\; 0{,}32\,xz \;+\; 0{,}24\,yz.

Passo 3

Construímos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) =0{,}36\,xy +0{,}32\,xz +0{,}24\,yz -\lambda\,(xyz-16),
e impomos as condições de otimalidade
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} =0{,}36\,y+0{,}32\,z -\lambda\,yz =0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} =0{,}36\,x+0{,}24\,z -\lambda\,xz =0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z} =0{,}32\,x+0{,}24\,y -\lambda\,xy =0,
além de
xyz=16.

Passo 4

Das duas primeiras condições igualamos \lambda:
\frac{0{,}36\,y+0{,}32\,z}{yz} =\frac{0{,}36\,x+0{,}24\,z}{xz} \;\Longrightarrow\; 0{,}32\,x =0{,}24\,y \;\Longrightarrow\; y=\frac{0{,}32}{0{,}24}\,x=\frac{4}{3}\,x.
Igualando a primeira e a terceira condição para \lambda:
\frac{0{,}36\,y+0{,}32\,z}{yz} =\frac{0{,}32\,x+0{,}24\,y}{xy} \;\Longrightarrow\; 0{,}36\,x =0{,}24\,z \;\Longrightarrow\; z=\frac{0{,}36}{0{,}24}\,x=\frac{3}{2}\,x.

Passo 5

Substituindo y=\tfrac{4}{3}x e z=\tfrac{3}{2}x na restrição de volume xyz=16:
x\cdot\frac{4}{3}x\cdot\frac{3}{2}x = x^3\cdot\Bigl(\frac{4}{3}\cdot\frac{3}{2}\Bigr) =2\,x^3 =16 \;\Longrightarrow\; x^3=8 \;\Longrightarrow\; x=2\text{ cm}.

Passo 6

Então
y=\frac{4}{3}\,x=\frac{4}{3}\cdot2=\frac{8}{3}\text{ cm}, \quad z=\frac{3}{2}\,x=\frac{3}{2}\cdot2=3\text{ cm}.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são x=2 cm, y=\tfrac{8}{3} cm e z=3 cm.

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