Seja T(x, y)=4-x^{2}-y^{2} a temperatura em cada ponto de uma chapa metálica cujo formato é determinado pelo conjunto de pontos D=\left\{(x, y) \mid x \geq 0, x \leq y \leq 2-\frac{x}{2}\right\}. Determine o ponto da chapa de menor temperatura.

Passo 1

O enunciado define a temperatura
T(x,y)=4 - x^2 - y^2
em cada ponto (x,y) de uma chapa cujo domínio é
D = \bigl\{(x,y)\mid x\ge0,\;x\le y\le 2-\tfrac x2\bigr\}.
Queremos o ponto de menor temperatura, ou seja, o mínimo de T em D.

Passo 2

Como T(x,y)=4 - (x^2+y^2), minimizar T equivale a maximizar
f(x,y)=x^2+y^2
em D. Note que D é compacto, logo o máximo de f ocorre ou em pontos críticos no interior ou na fronteira.

Passo 3

No interior de D temos
\nabla f=(2x,2y)=0\implies x=0,\;y=0.
Esse ponto está em D e dá f(0,0)=0, mas trata-se do mínimo de f, não do máximo. Logo o máximo de f (e o mínimo de T) está na fronteira de D. As arestas de D são:
  1. x=0, com 0\le y\le2.
  2. y=x, com 0\le x\le \tfrac{4}{3}.
  3. y=2-\tfrac x2, com 0\le x\le \tfrac{4}{3}.

Passo 4

Na aresta x=0, y\in[0,2]:
f(0,y)=y^2,
que atinge máximo 4 em y=2. Então ali f(0,2)=4 e
T(0,2)=4 - 4=0.

Passo 5

Na aresta y=x, x\in[0,\tfrac{4}{3}]:
f(x,x)=2x^2,
que cresce em x, logo o máximo é em x=\tfrac{4}{3}:
f\bigl(\tfrac{4}{3},\tfrac{4}{3}\bigr)=2\Bigl(\tfrac{4}{3}\Bigr)^2=\tfrac{32}{9}<4.

Passo 6

Na aresta y=2-\tfrac x2, x\in[0,\tfrac{4}{3}]:
f\bigl(x,2-\tfrac x2\bigr)=x^2+\Bigl(2-\tfrac x2\Bigr)^2 =\tfrac{5}{4}x^2-2x+4.
Derivando em x e igualando a zero dá x=\tfrac{4}{5}, com
f\bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{8}{5}\bigr)=\tfrac{16}{5}=3{,}2<4.
Nos extremos x=0 obtemos f(0,2)=4 e em x=\tfrac{4}{3} obtemos \tfrac{32}{9}<4. Assim o máximo nessa aresta também é 4 em (0,2).

Passo 7

Comparando as três arestas, o maior valor de f em D é 4, alcançado apenas em (0,2). Portanto o mínimo de T em D é
T(0,2)=4-4=0.

Resposta

O ponto de menor temperatura na chapa é (0,2), onde T(0,2)=0.

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