Seja
a temperatura em cada ponto de uma chapa metálica cujo formato é determinado pelo conjunto de pontos
. Determine o ponto da chapa de menor temperatura.
Passo 1
O enunciado define a temperatura
em cada ponto
de uma chapa cujo domínio é
Queremos o ponto de menor temperatura, ou seja, o mínimo de
em
.
Passo 2
Como
, minimizar
equivale a maximizar
em
. Note que
é compacto, logo o máximo de
ocorre ou em pontos críticos no interior ou na fronteira.
Passo 3
No interior de
temos
Esse ponto está em
e dá
, mas trata-se do mínimo de
, não do máximo. Logo o máximo de
(e o mínimo de
) está na fronteira de
. As arestas de
são:
-
, com . -
, com . -
, com .
Passo 4
Na aresta
,
:
que atinge máximo
em
. Então ali
e
Passo 5
Na aresta
,
:
que cresce em
, logo o máximo é em
:
Passo 6
Na aresta
,
:
Derivando em
e igualando a zero dá
, com
Nos extremos
obtemos
e em
obtemos
. Assim o máximo nessa aresta também é
em
.
Passo 7
Comparando as três arestas, o maior valor de
em
é
, alcançado apenas em
. Portanto o mínimo de
em
é
Resposta
O ponto de menor temperatura na chapa é
, onde
.