Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 9 m^2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que fazer uma caixa retangular sem tampa usando 9 metros quadrados de papelão e quer descobrir qual o volume máximo que essa caixa pode ter. Vamos usar um pouco de geometria e otimização para resolver isso. Precisamos entender as relações entre as dimensões da caixa e a área total do papelão.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de , a largura de e a altura de . O volume da caixa é dado por:
Nosso objetivo é maximizar esse volume.

Passo 3

Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão usado será a soma das áreas da base e das quatro laterais. A área total fica assim:
Sabemos que ², então temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre , e . Podemos isolar :
Isso nos ajuda a expressar o volume apenas em termos de e .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Para facilitar, podemos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja, . Isso simplifica os cálculos.

Passo 6

Se , a equação da área fica:
Isolando :
Substituindo na fórmula do volume:
Para encontrar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo:

Passo 7

Com , calculamos :
Agora, calculamos o volume máximo:
³

Resposta

O volume máximo que a caixa pode ter é aproximadamente ³.

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