Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que fazer uma caixa retangular sem tampa usando 9 metros quadrados de papelão e quer descobrir qual o volume máximo que essa caixa pode ter. Vamos usar um pouco de geometria e otimização para resolver isso. Precisamos entender as relações entre as dimensões da caixa e a área total do papelão.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as dimensões da caixa. Vamos chamar o comprimento de
, a largura de
e a altura de
. O volume da caixa é dado por:
Nosso objetivo é maximizar esse volume.
Passo 3
Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão usado será a soma das áreas da base e das quatro laterais. A área total
fica assim:
Sabemos que
, então temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação para encontrar uma relação entre
,
e
. Podemos isolar
:
Isso nos ajuda a expressar o volume apenas em termos de
e
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Para facilitar, podemos assumir que a base da caixa é quadrada, ou seja,
. Isso simplifica os cálculos.
Passo 6
Se
, a equação da área fica:
Isolando
:
Substituindo na fórmula do volume:
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo:
Passo 7
Com
, calculamos
:
Agora, calculamos o volume máximo:
Resposta
O volume máximo que a caixa pode ter é aproximadamente
.