Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v : f(x, y) = e^x * sen(y), ponto (0, pi/3), v = <-6, 5>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, vetores unitários e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, a gente precisa do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.

Passo 3

Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:
Então, a derivada direcional é aproximadamente -0,3458.

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