Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor : , ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais, vetores unitários e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, a gente precisa do gradiente da função e de um vetor unitário que indica a direção desejada.
Passo 3
Vamos começar calculando o gradiente de . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto dado :
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Fazendo o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é:
Então, a derivada direcional é aproximadamente -0,3458.