Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa encontrar seus valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os valores de
e
onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 5
Substituindo a equação (2) na equação (1):
Isso implica que
. Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Portanto,
ou
. Assim,
ou
.
Passo 6
Encontrando os valores de
correspondentes:
- Se
, então de , temos . - Se
, então . - Se
, então .
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Passo 8
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico:
- Ponto (0, 0):
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto (1, 1):
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
- Ponto (-1, -1):
Novamente,
e
, então esse ponto também é um mínimo local.
Resposta
A função
possui:
- Mínimos locais nos pontos
e . - Ponto de sela no ponto
.