Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de: f(x, y) = x^4 + y^4 - 4xy + 5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar seus valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os valores de e onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 5

Substituindo a equação (2) na equação (1):
Isso implica que . Para resolver isso, vamos elevar ambos os lados ao cubo:
Portanto, ou . Assim, ou .

Passo 6

Encontrando os valores de correspondentes:
  • Se , então de , temos .
  • Se , então .
  • Se , então .
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 7

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para determinar a natureza de cada ponto crítico. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 8

O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 0):
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (1, 1):
Como e , esse ponto é um mínimo local.
  1. Ponto (-1, -1):
Novamente, e , então esse ponto também é um mínimo local.

Resposta

A função possui:
  • Mínimos locais nos pontos e .
  • Ponto de sela no ponto .

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