Calcule as integrais abaixo usando a sistema de coordenadas (em ) que você achar mais conveniente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla que está no espaço tridimensional . O enunciado nos pede para calcular:
Vamos usar coordenadas esféricas porque elas simplificam bastante os limites de integração quando estamos lidando com esferas ou partes dela. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de mudança de coordenadas e dos limites em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites de , e são:
Essa região é um oitante da esfera de raio 1 no primeiro octante (onde , , são positivos).
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
E o volume elementar dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta é dado por:
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas esféricas. Como estamos no primeiro octante e dentro da esfera de raio 1:
varia de 0 a 1
varia de 0 a
varia de 0 a
Passo 5
Substituindo integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^2 cos^2phi cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta na integral original, a função integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^4 cos^2phi sinphi , drho , dphi , dtheta fica .
Então, a integral em coordenadas esféricas fica:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral em ordem: integral0^1 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^1 = 15 , , .
Primeiro, a integral em :
Passo 7
Agora, a integral em integral0^pi2 cos^2phi sinphi , dphi :