Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D x^2 + y^2 - 4xy + 2, onde D = {(x, y) pertence a R^2 | 0 <= x <= 3, 0 <= y <= 2}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função no conjunto . A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a busca de extremos de funções de duas variáveis em uma região delimitada. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento da função nas fronteiras de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, . O ponto crítico é .

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função no ponto crítico e nas fronteiras do domínio para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, no ponto crítico :

Passo 6

Em seguida, vamos analisar as fronteiras de :
  1. Quando e :
Essa função é crescente em , então os valores vão de a .
  1. Quando e :
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a :
Como está fora do intervalo, avaliaremos nos extremos:
  1. Quando e :
Essa função é crescente em , então os valores vão de a .
  1. Quando e :
Derivando em relação a :
Como está fora do intervalo, avaliamos nos extremos:

Resposta

O valor máximo absoluto da função no conjunto é 11, alcançado em , e o valor mínimo absoluto é -9, alcançado em .

Exercícios relacionados