Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
no conjunto
. A matéria envolvida aqui é cálculo multivariável, especificamente a busca de extremos de funções de duas variáveis em uma região delimitada. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e analisar o comportamento da função nas fronteiras de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero ou não existem. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos igualar ambas as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Substituindo
na segunda equação:
Então,
. O ponto crítico é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
no ponto crítico e nas fronteiras do domínio
para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos.
Primeiro, no ponto crítico
:
Passo 6
Em seguida, vamos analisar as fronteiras de
:
- Quando
e :
Essa função é crescente em
, então os valores vão de
a
.
- Quando
e :
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a
:
Como
está fora do intervalo, avaliaremos nos extremos:
- Quando
e :
Essa função é crescente em
, então os valores vão de
a
.
- Quando
e :
Derivando em relação a
:
Como
está fora do intervalo, avaliamos nos extremos:
Resposta
O valor máximo absoluto da função
no conjunto
é 11, alcançado em
, e o valor mínimo absoluto é -9, alcançado em
.