Uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume de 32 m^3. Encontre as dimensões da caixa que tem a menor área superficial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de 32 , m^3 e, ao mesmo tempo, minimize a área superficial. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja x a largura da caixa.
  • Seja y o comprimento da caixa.
  • Seja h a altura da caixa.

Passo 3

Sabemos que o volume V da caixa é dado por:
V = x times y times h = 32
Como a caixa não tem tampa, a área superficial A é composta pela base e pelas quatro faces laterais:
A = x times y + 2(x times h) + 2(y times h)

Passo 4

Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a restrição do volume. Vamos isolar h:
h = 32x times y
Agora, substituímos h na fórmula da área:
A = x times y + 2(x times 32x times y) + 2(y times 32x times y)
Simplificando:
A = x times y + 64y + 64x

Passo 5

Para minimizar a área, precisamos encontrar os valores de x e y que tornam A o menor possível. Vamos assumir que a caixa é simétrica, ou seja, x = y. Isso simplifica a equação:
A = x^2 + 128x
Agora, derivamos A em relação a x e igualamos a zero para encontrar o mínimo:
dAdx = 2x - 128x^2 = 0
Resolvendo para x:
2x = 128x^2 implies 2x^3 = 128 implies x^3 = 64 implies x = 4 , m

Passo 6

Com x = 4 , m e y = 4 , m, encontramos h usando a equação do volume:
h = 324 times 4 = 3216 = 2 , m

Resposta

As dimensões da caixa que minimizam a área superficial são:
  • Largura ( x): 4 , m
  • Comprimento ( y): 4 , m
  • Altura ( h): 2 , m

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