Uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume de
. Encontre as dimensões da caixa que tem a menor área superficial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tenha um volume de
e, ao mesmo tempo, minimize a área superficial. Para isso, vamos usar conceitos de otimização e cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
a largura da caixa. - Seja
o comprimento da caixa. - Seja
a altura da caixa.
Passo 3
Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Como a caixa não tem tampa, a área superficial
é composta pela base e pelas quatro faces laterais:
Passo 4
Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a restrição do volume. Vamos isolar
:
Agora, substituímos
na fórmula da área:
Simplificando:
Passo 5
Para minimizar a área, precisamos encontrar os valores de
e
que tornam
o menor possível. Vamos assumir que a caixa é simétrica, ou seja,
. Isso simplifica a equação:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a zero para encontrar o mínimo:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
e
, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a área superficial são:
- Largura (
): - Comprimento (
): - Altura (
):