Nas questões de 3 até 15, calcule, se existir,
, sendo
a função informada.
se
e
são polinômios (não identificamente nulos) com o grau de
menor que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da função
, onde
e
são polinômios, e o grau de
é menor que o grau de
. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções racionais em cálculo, especificamente analisando o comportamento das funções polinomiais conforme
fica cada vez maior.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o grau de um polinômio. O grau é o maior expoente de
que aparece na expressão. Por exemplo, se
, o grau de
é 2.
Quando temos uma função racional
, o comportamento do limite para
tendendo ao infinito depende dos graus de
e
:
- Grau de
igual ao grau de : O limite será a razão dos coeficientes principais. - Grau de
menor que o de : O limite será 0. - Grau de
maior que o de : O limite tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo dos coeficientes).
No nosso caso, o grau de
é menor que o de
, então esperamos que o limite seja 0. Mas vamos detalhar isso.
Passo 3
Vamos considerar que
tem grau
e
tem grau
, onde
. Podemos dividir todos os termos por
(o maior grau) para simplificar:
À medida que
tende ao infinito, os termos com
na base negativo (
) tendem a 0. Assim, o numerador se aproxima de 0 e o denominador se aproxima de
.
Passo 4
Então, temos:
Esse resultado confirma que, quando o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, o limite tende a zero.