Nas questões de 3 até 15, calcule, se existir, lim x infty f(x), sendo f(x) a função informada.
P(x)Q(x) se P e Q são polinômios (não identificamente nulos) com o grau de P menor que Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando x tende ao infinito da função f(x) = P(x)Q(x) , onde P(x) e Q(x) são polinômios, e o grau de P é menor que o grau de Q . Isso está relacionado ao estudo de limites de funções racionais em cálculo, especificamente analisando o comportamento das funções polinomiais conforme x fica cada vez maior.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o grau de um polinômio. O grau é o maior expoente de x que aparece na expressão. Por exemplo, se P(x) = 2x^2 + 3x + 1 , o grau de P é 2.
Quando temos uma função racional P(x)Q(x) , o comportamento do limite para x tendendo ao infinito depende dos graus de P e Q :
  1. Grau de P igual ao grau de Q : O limite será a razão dos coeficientes principais.
  2. Grau de P menor que o de Q : O limite será 0.
  3. Grau de P maior que o de Q : O limite tende ao infinito (positivo ou negativo, dependendo dos coeficientes).
No nosso caso, o grau de P é menor que o de Q , então esperamos que o limite seja 0. Mas vamos detalhar isso.

Passo 3

Vamos considerar que P(x) tem grau n e Q(x) tem grau m , onde n < m . Podemos dividir todos os termos por x^m (o maior grau) para simplificar:
P(x)Q(x) = an x^n + an-1 x^n-1 + dots + a0bm x^m + bm-1 x^m-1 + dots + b0 = an x^n-m + an-1 x^n-1 - m + dots + a0 x^-mbm + bm-1 x^-1 + dots + b0 x^-m
À medida que x tende ao infinito, os termos com x na base negativo ( x^-k ) tendem a 0. Assim, o numerador se aproxima de 0 e o denominador se aproxima de bm .

Passo 4

Então, temos:
limx to infty P(x)Q(x) = 0bm = 0
Esse resultado confirma que, quando o grau do polinômio no numerador é menor que o do denominador, o limite tende a zero.

Resposta

limx to infty P(x)Q(x) = 0

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