Determine e classifique os pontos críticos de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função
. Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mostra como a função muda quando essa variável varia, mantendo as outras constantes.
A função dada é:
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
e
onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos as derivadas a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então podemos simplificar:
Portanto, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
No ponto crítico
, essas derivadas ficam:
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso significa que o ponto
é um mínimo relativo.
Resposta
O ponto crítico da função
é
e ele é um mínimo relativo.