Determine e classifique os pontos críticos de: z=e^(1+x^2+y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e classificar os pontos críticos da função z = e^1 + x^2 + y^2 . Esse problema está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y , encontrar onde elas são iguais a zero (os pontos críticos) e depois classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . A derivada parcial de uma função em relação a uma variável mostra como a função muda quando essa variável varia, mantendo as outras constantes.
A função dada é:
z = e^1 + x^2 + y^2
A derivada parcial em relação a x é:
partial zpartial x = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x
E a derivada parcial em relação a y é:
partial zpartial y = e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de x e y onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero.
Então, igualamos as derivadas a zero:
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x = 0
e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y = 0
Sabemos que e^1 + x^2 + y^2 nunca é zero, então podemos simplificar:
2x = 0 Rightarrow x = 0
2y = 0 Rightarrow y = 0
Portanto, o único ponto crítico é (0, 0) .

Passo 4

Agora, vamos classificar esse ponto crítico. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular as segundas derivadas parciais e o discriminante.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot (2 + 4x^2)
partial^2 zpartial y^2 = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2y ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot (2 + 4y^2)
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial y ( e^1 + x^2 + y^2 cdot 2x ) = e^1 + x^2 + y^2 cdot 4xy
No ponto crítico (0, 0) , essas derivadas ficam:
partial^2 zpartial x^2 = e^1 cdot 2 = 2e
partial^2 zpartial y^2 = e^1 cdot 2 = 2e
partial^2 zpartial x partial y = e^1 cdot 0 = 0
Calculamos o discriminante D :
D = partial^2 zpartial x^2 cdot partial^2 zpartial y^2 - ( partial^2 zpartial x partial y )^2 = (2e)(2e) - 0 = 4e^2
Como D > 0 e partial^2 zpartial x^2 > 0 , isso significa que o ponto (0, 0) é um mínimo relativo.

Resposta

O ponto crítico da função z = e^1 + x^2 + y^2 é (0, 0) e ele é um mínimo relativo.

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