Determine os pontos extremos de: w=x+y+z tais que x^2-y^2+z^2=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos extremos da função w = x + y + z considerando a restrição x^2 - y^2 + z^2 = 4 . Aqui, estamos lidando com otimização de funções com restrições, ou seja, usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os valores máximos e mínimos da nossa função w dentro dessa condição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são pontos extremos. Eles são os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos. Quando temos uma restrição, não podemos simplesmente derivar a função normalmente. Por isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar esses extremos levando em conta a condição imposta.

Passo 3

No método dos multiplicadores de Lagrange, criamos uma nova função chamada função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A fórmula geral é:
L(x, y, z, lambda) = w - lambda (x^2 - y^2 + z^2 - 4)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange que vamos encontrar.

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos extremos, derivamos a função de Lagrange em relação a cada variável (x, y, z) e ao multiplicador lambda , e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 1 - 2lambda x = 0 (1)
partial Lpartial y = 1 + 2lambda y = 0 (2)
partial Lpartial z = 1 + 2lambda z = 0 (3)
partial Lpartial lambda = x^2 - y^2 + z^2 - 4 = 0 (4)

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (1):
1 - 2lambda x = 0 Rightarrow lambda = 12x (5)
Da equação (2):
1 + 2lambda y = 0 Rightarrow lambda = -12y (6)
Igualando (5) e (6):
12x = -12y Rightarrow y = -x
Da equação (3):
1 + 2lambda z = 0 Rightarrow lambda = -12z (7)
Igualando (5) e (7):
12x = -12z Rightarrow z = -x
Agora, sabemos que y = -x e z = -x . Vamos substituir esses na equação de restrição (4):
x^2 - (-x)^2 + (-x)^2 = 4 Rightarrow x^2 - x^2 + x^2 = 4 Rightarrow x^2 = 4 Rightarrow x = pm 2
Então, temos dois casos:
  1. Se x = 2 :
y = -2 e z = -2
Portanto, w = 2 + (-2) + (-2) = -2
  1. Se x = -2 :
y = 2 e z = 2
Portanto, w = -2 + 2 + 2 = 2

Resposta

Os pontos extremos são:
  • (2, -2, -2) com w = -2 (mínimo)
  • (-2, 2, 2) com w = 2 (máximo)

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