Determine os pontos extremos de:
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os pontos extremos da função
considerando a restrição
. Aqui, estamos lidando com otimização de funções com restrições, ou seja, usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os valores máximos e mínimos da nossa função
dentro dessa condição específica.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são pontos extremos. Eles são os pontos onde a função atinge seus valores máximos ou mínimos. Quando temos uma restrição, não podemos simplesmente derivar a função normalmente. Por isso, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar esses extremos levando em conta a condição imposta.
Passo 3
No método dos multiplicadores de Lagrange, criamos uma nova função chamada função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A fórmula geral é:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange que vamos encontrar.
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos extremos, derivamos a função de Lagrange em relação a cada variável (x, y, z) e ao multiplicador
, e igualamos a zero:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da equação (1):
Da equação (2):
Igualando (5) e (6):
Da equação (3):
Igualando (5) e (7):
Agora, sabemos que
e
. Vamos substituir esses na equação de restrição (4):
Então, temos dois casos:
- Se
:
Portanto,
- Se
:
Portanto,
Resposta
Os pontos extremos são:
-
com (mínimo) -
com (máximo)