- Uma caixa retangular tem sua base no plano
e está inscrito sob o gráfico do parabolóide
. Encontre o maior volume possível da caixa.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: queremos inscrever uma caixa retangular de base no plano xy sob o parabolóide z=1−x²−y², maximizando o volume. O conteúdo envolvido é otimização de função de duas variáveis usando derivadas parciais.
Passo 2
Para modelar a caixa, seja a metade dos comprimentos da base em x igual a a≥0 e em y igual a b≥0. Assim a base tem dimensões 2a×2b e a altura é o valor de z no ponto (a,b), ou seja h=1−a²−b².
Passo 3
O volume em função de a e b fica
Passo 4
Para encontrar extremos internos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Das equações obtemos 1−3a²−b²=0 e 1−a²−3b²=0. Subtraindo, vê-se a²=b² ⇒ a=b. Substituindo em 1−4a²=0 dá a=b=1/2.
Passo 5
Para verificar que esse ponto é máximo, notamos que na fronteira (quando a²+b²=1 ou a=0 ou b=0) o volume vai a zero, e em a=b=1/2 obtemos um valor positivo. Logo é o máximo. Calculando o volume: