1. Uma caixa retangular tem sua base no plano x y e está inscrito sob o gráfico do parabolóide z=1-x^2-y^2, z >= 0. Encontre o maior volume possível da caixa.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: queremos inscrever uma caixa retangular de base no plano xy sob o parabolóide z=1−x²−y², maximizando o volume. O conteúdo envolvido é otimização de função de duas variáveis usando derivadas parciais.

Passo 2

Para modelar a caixa, seja a metade dos comprimentos da base em x igual a a≥0 e em y igual a b≥0. Assim a base tem dimensões 2a×2b e a altura é o valor de z no ponto (a,b), ou seja h=1−a²−b².

Passo 3

O volume em função de a e b fica
V(a,b)=área da basetimesaáO domínio de interesse é a≥0, b≥0 e a²+b²≤1.

Passo 4

Para encontrar extremos internos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Va=partial Vpartial a=4b(1−a^2−b^2)−8a^2b=4b(1−3a^2−b^2)=0,
Vb=partial Vpartial b=4a(1−a^2−b^2)−8ab^2=4a(1−a^2−3b^2)=0
Das equações obtemos 1−3a²−b²=0 e 1−a²−3b²=0. Subtraindo, vê-se a²=b² ⇒ a=b. Substituindo em 1−4a²=0 dá a=b=1/2.

Passo 5

Para verificar que esse ponto é máximo, notamos que na fronteira (quando a²+b²=1 ou a=0 ou b=0) o volume vai a zero, e em a=b=1/2 obtemos um valor positivo. Logo é o máximo. Calculando o volume:
Vmax=4cdottfrac12cdottfrac12cdotl(1−tfrac14−tfrac14r)=tfrac12

Resposta

tfrac12

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