Nos itens abaixo, assuma que f(x) admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Maclaurin para f(x) pela definição. Encontre também o raio de convergência associado.
f(x)=(1+x)^3

Passo 1

Estamos buscando a série de Maclaurin de uma função polinomial, ou seja, expandir f(x)=(1+x)^3 em potências de x usando a definição f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de f e avaliá-las em zero para obter os coeficientes an=f^(n)(0)n!:
f(x)=(1+x)^3,
f'(x)=3(1+x)^2 implies f'(0)=3,
f''(x)=6(1+x) implies f''(0)=6,
f'''(x)=6 implies f'''(0)=6,
f^(4)(x)=0 implies f^(n)(0)=0 para n>=4
Logo:
a0=f(0)0!=1, a1=31!=3, a2=62!=3, a3=63!=1, an=0 (n>=4)

Passo 3

Agora montamos a série de Maclaurin juntando os an:
(1+x)^3=sumn=0^infty an x^n=1+3x+3x^2+x^3

Passo 4

Como essa é uma série finita (polinômio de grau 3), ela converge para todo x. Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

(1+x)^3=1+3x+3x^2+x^3
Raio de convergência: R=infty.

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