Nos itens abaixo, assuma que
admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Maclaurin para
pela definição. Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
Estamos buscando a série de Maclaurin de uma função polinomial, ou seja, expandir
em potências de
usando a definição
. Também vamos determinar o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em zero para obter os coeficientes
:
Logo:
Passo 3
Agora montamos a série de Maclaurin juntando os
:
Passo 4
Como essa é uma série finita (polinômio de grau 3), ela converge para todo
. Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
Raio de convergência:
.