1. Um prédio tem a forma de uma caixa retangular com volume 8000 ft^3. O custo anual de refrigeração e aquecimento do prédio é: por por no topo do prédio, no topo do prédio, por 2 na frente e na parte de trás do prédio, ft^2 por na parte lateral do prédio. Determine as dimensões do prédio que minimiza os gastos anuais com refrigeração e aquecimento.

Passo 1

O prédio é um paralelepípedo de volume 8000 ft³ e o custo anual de climatização depende das áreas das faces (topo a ², frente e trás a , frente e trás a ², laterais a 2/ft²²). O tema é otimização de função de várias variáveis com restrição e vamos usar derivadas parciais para encontrar o mínimo.

Passo 2

Definimos as dimensões: largura frontal x, profundidade lateral y e altura z. A área do topo é xy (custo 2xy), das faces frontal e traseira é 2xz (custo 4xz) e das duas faces laterais é 2yz (custo 8yz). Assim
C(x,y,z)=2,x,y+4,x,z+8,y,z
e a restrição de volume é
x,y,z=8000

Passo 3

Usamos a restrição para eliminar z:
z=8000x,y,
substituindo em C e simplificando:
C(x,y)=2,x,y+4cdot8000y+8cdot8000x=2xy+32000y+64000x

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Cpartial x=2y-64000x^2=0Rightarrow y=32000x^2,
partial Cpartial y=2x-32000y^2=0Rightarrow x=16000y^2

Passo 5

Resolvendo o sistema: de y=32000/x^2 e x=16000/y^2 vem y^3=8000, logo y=20 ft; então x=16000/20^2=40 ft. Da restrição de volume z=8000/(40cdot20)=10 ft.
O ponto crítico (x,y,z)=(40,20,10) ft dá um mínimo global, pois o custo cresce sem limite se uma dimensão tende a zero ou infinito.

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são 40 ft de largura frontal, 20 ft de profundidade lateral e 10 ft de altura.

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