- Um prédio tem a forma de uma caixa retangular com volume
. O custo anual de refrigeração e aquecimento do prédio é:
por
no topo do prédio,
por
na frente e na parte de trás do prédio,
por
na parte lateral do prédio. Determine as dimensões do prédio que minimiza os gastos anuais com refrigeração e aquecimento.
Passo 1
O prédio é um paralelepípedo de volume 8000 ft³ e o custo anual de climatização depende das áreas das faces (topo a
, frente e trás a
, laterais a
). O tema é otimização de função de várias variáveis com restrição e vamos usar derivadas parciais para encontrar o mínimo.
Passo 2
Definimos as dimensões: largura frontal
, profundidade lateral
e altura
. A área do topo é
(custo
), das faces frontal e traseira é
(custo
) e das duas faces laterais é
(custo
). Assim
e a restrição de volume é
Passo 3
Usamos a restrição para eliminar
:
substituindo em
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 5
Resolvendo o sistema: de
e
vem
, logo
ft; então
ft. Da restrição de volume
ft.
O ponto crítico ft dá um mínimo global, pois o custo cresce sem limite se uma dimensão tende a zero ou infinito.
O ponto crítico
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são 40 ft de largura frontal, 20 ft de profundidade lateral e 10 ft de altura.