Nos itens abaixo, assuma que admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Maclaurin para pela definição. Encontre também o raio de convergência associado.
Passo 1
Vamos expandir a função pela definição de série de Maclaurin, isto é, usar a fórmula . Precisamos calcular as derivadas de em zero.
Passo 2
Observe que as derivadas de formam um ciclo: , , , , , e assim por diante. Em geral, as derivadas de ordem par em zero são zero (pois envolvem ), e as de ordem ímpar valem
Passo 3
Logo, os coeficientes da série são
Passo 4
Substituindo na soma de Maclaurin, só aparecem termos ímpares e obtemos