Nos itens abaixo, assuma que f(x) admite uma expansão em série de potências e encontre a série de Maclaurin para f(x) pela definição. Encontre também o raio de convergência associado.
f(x)=sen(2 x)

Passo 1

Vamos expandir a função pela definição de série de Maclaurin, isto é, usar a fórmula f(x)=sumn=0^infty f^(n)(0)n!x^n. Precisamos calcular as derivadas de f(x)=sin(2x) em zero.

Passo 2

Observe que as derivadas de f formam um ciclo:
f(x)=sin(2x),
f'(x)=2cos(2x),
f''(x)=-4sin(2x),
f'''(x)=-8cos(2x),
f^(4)(x)=16sin(2x), e assim por diante. Em geral, as derivadas de ordem par em zero são zero (pois envolvem sin(0)=0), e as de ordem ímpar valem
f^(2n+1)(0)=2^2n+1(-1)^n

Passo 3

Logo, os coeficientes da série são
an=f^(n)(0)n!=0,&n par,2^2k+1(-1)^k(2k+1)!,&n=2k+1,

Passo 4

Substituindo na soma de Maclaurin, só aparecem termos ímpares e obtemos
sin(2x)=sumk=0^infty2^2k+1(-1)^k(2k+1)!,x^2k+1=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k+1(2k+1)!

Passo 5

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a a2k+1=2^2k+1/(2k+1)!. Como
limktoinfty|a2(k+1)+1a2k+1|=limktoinfty2^2k+3/(2k+3)!2^2k+1/(2k+1)!=0,<1
o que implica R=infty.

Resposta

sin(2x)=sumk=0^infty(-1)^k(2x)^2k+1(2k+1)!, com raio de convergência R=infty.

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