Nos itens abaixo, verifique que wx y=wy x.
w=x y^4-2 x^2 y^3+4 x^2-3 y

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos verificar que as derivadas parciais mistas são iguais, ou seja, que wxy=wyx. O conteúdo é derivadas parciais de segunda ordem de uma função de duas variáveis. Vamos usar as regras de derivação termo a termo.

Passo 2

Para calcular partial wpartial x, tratamos y como constante e derivamos cada termo de w=xy^4-2x^2y^3+4x^2-3y:
wx = y^4 - 4xy^3 + 8x
Em seguida, encontramos a derivada mista wxy derivando wx em relação a y, usando a regra de potência e tratando x como constante:
wxy = 4y^3 - 12xy^2

Passo 3

Agora calculamos partial wpartial y, tratando x como constante e derivando cada termo de w:
wy = 4xy^3 - 6x^2y^2 - 3
Por fim, achamos a derivada mista wyx derivando wy em relação a x, usando a derivada de uma constante vezes potência:
wyx = 4y^3 - 12xy^2

Passo 4

Observamos que wxy e wyx coincidem, o que confirma que as derivadas parciais mistas são iguais conforme esperado.

Resposta

wxy = wyx = 4y^3 - 12xy^2

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