- Em um caixa de supermercado, o tempo de atendimento (em minutos) segue uma distribuição exponencial com tempo médio de
minutos. Qual é a probabilidade de um cliente ser atendido em menos de 1 minuto?
Passo 1
O enunciado informa que o tempo de atendimento (em minutos) segue uma distribuição exponencial com tempo médio
minutos e pergunta qual a probabilidade de um cliente ser atendido em menos de 1 minuto, ou seja, calcular
, onde
é o tempo de atendimento (em minutos).
Passo 2
Para resolver o problema, precisamos entender a fórmula da distribuição exponencial. Para uma variável aleatória
com distribuição exponencial com parâmetro de taxa
(por minuto), a função densidade é
e a função de distribuição acumulada (CDF), que dá
, é
Aqui
é a taxa de atendimento (unidade: por minuto) e
é o tempo em minutos. Então, para calcular
usamos
. (Observação didática: para a exponencial
.
Passo 3
Precisamos relacionar o tempo médio
com o parâmetro
. Para a exponencial vale
Aqui
é o tempo médio (em minutos) e
é a taxa. Dado
, temos
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da CDF para
:
Substituindo
,
Passo 5
Calculando numericamente
usando a aproximação conhecida
, obtemos
Arredondando de forma prática para uso em prova ou relatório,
, ou seja aproximadamente
.
Passo 6
Em outras palavras, com média de
minutos, é pouco provável (cerca de
) que alguém seja atendido em menos de
minuto — o que faz sentido intuitivo: média alta gera pequena probabilidade de tempos muito curtos.