1. Em um caixa de supermercado, o tempo de atendimento (em minutos) segue uma distribuição exponencial com tempo médio de \mu=5 minutos. Qual é a probabilidade de um cliente ser atendido em menos de 1 minuto?

Passo 1

O enunciado informa que o tempo de atendimento (em minutos) segue uma distribuição exponencial com tempo médio \mu=5 minutos e pergunta qual a probabilidade de um cliente ser atendido em menos de 1 minuto, ou seja, calcular \mathbb{P}(X<1), onde X é o tempo de atendimento (em minutos).

Passo 2

Para resolver o problema, precisamos entender a fórmula da distribuição exponencial. Para uma variável aleatória X com distribuição exponencial com parâmetro de taxa \lambda (por minuto), a função densidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }x\ge 0,
e a função de distribuição acumulada (CDF), que dá \mathbb{P}(X\le t), é
F_X(t)=1-e^{-\lambda t}\quad\text{para }t\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa de atendimento (unidade: por minuto) e t é o tempo em minutos. Então, para calcular \mathbb{P}(X<1) usamos F_X(1). (Observação didática: para a exponencial \mathbb{P}(X< t)=1-e^{-\lambda t}.

Passo 3

Precisamos relacionar o tempo médio \mu com o parâmetro \lambda. Para a exponencial vale
\mu=\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui \mu é o tempo médio (em minutos) e \lambda é a taxa. Dado \mu=5, temos
\lambda=\frac{1}{\mu}=\frac{1}{5}=0{,}2\\ \text{(por minuto)}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da CDF para t=1:
\mathbb{P}(X<1)=F_X(1)=1-e^{-\lambda\cdot 1}=1-e^{-\lambda}.
Substituindo \lambda=0{,}2,
\mathbb{P}(X<1)=1-e^{-0{,}2}.

Passo 5

Calculando numericamente e^{-0{,}2} usando a aproximação conhecida e^{-0{,}2}\approx 0{,}818730753, obtemos
\mathbb{P}(X<1)=1-0{,}818730753\approx 0{,}181269247.
Arredondando de forma prática para uso em prova ou relatório, \mathbb{P}(X<1)\approx 0{,}1813, ou seja aproximadamente 18{,}13\%.

Passo 6

Em outras palavras, com média de 5 minutos, é pouco provável (cerca de 18\%) que alguém seja atendido em menos de 1 minuto — o que faz sentido intuitivo: média alta gera pequena probabilidade de tempos muito curtos.

Resposta

\mathbb{P}(X<1)=1-e^{-0{,}2}\approx 0{,}1813 (aproximadamente 18{,}13\%).

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