1. A vida útil de um componente eletrônico (em horas) segue uma distribuição exponencial com uma taxa \lambda=0,02 por hora. Qual é a vida útil média esperada desse componente?

Passo 1

O enunciado dá que a vida útil de um componente eletrônico (em horas) segue uma distribuição exponencial com taxa \lambda=0,02 por hora. A pergunta é: qual é a vida útil média esperada desse componente?
Informações importantes fornecidas:
\lambda=0,02 (unidade: por hora).
O objetivo é calcular a esperança (valor médio) da variável aleatória que representa a vida útil.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a distribuição exponencial e como se calcula a esperança. A função densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial é
f(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0,
e f(t)=0 para t<0. Aqui \lambda>0 é a taxa: ela indica quão rapidamente a probabilidade “decai” com o tempo. A esperança (valor médio) de uma variável contínua T com densidade f é definida por
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt.
No nosso caso, queremos calcular \mathbb{E}[T] usando a pdf acima.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso exponencial:
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\cdot \lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Para avaliar essa integral usamos integração por partes. Escolhemos:
u=t,\qquad dv=\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Então
du=dt,\qquad v=\int \lambda e^{-\lambda t}\,dt = -e^{-\lambda t}.
A fórmula de integração por partes dá
\int_{0}^{\infty} t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \Big[-t e^{-\lambda t}\Big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt.
Agora avaliamos os termos separadamente. Primeiro, o limite
\lim_{t\to\infty} t e^{-\lambda t}=0
porque a exponencial decai mais rápido que t cresce (pode-se justificar por L’Hôpital ou por conhecimento padrão). No t=0 o termo é 0. Portanto o termo de fronteira é 0-0=0. O segundo termo é uma integral exponencial simples:
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Somando, obtemos
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
Isto é uma fórmula geral importante: a vida média de uma exponencial é 1/\lambda.

Passo 4

Agora substituímos o valor numérico fornecido \lambda=0,02. Calculamos
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{0,02}.
Para ver isso de forma clara, note que 0,02=\dfrac{2}{100}=\dfrac{1}{50}, então
\frac{1}{0,02}=50.
A unidade é horas, porque \lambda estava em “por hora”.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova: a esperança da distribuição exponencial é sempre \dfrac{1}{\lambda}. Assim, com taxa maior ( \lambda maior) a vida média diminui; com taxa menor a vida média aumenta. Aqui, com \lambda=0,02 por hora, a vida média esperada do componente é de 50 horas. Força aí — decorar a fórmula \mathbb{E}[T]=1/\lambda ajuda muito na prova.

Resposta

50 horas

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