- A vida útil de um componente eletrônico (em horas) segue uma distribuição exponencial com uma taxa
por hora. Qual é a vida útil média esperada desse componente?
Passo 1
O enunciado dá que a vida útil de um componente eletrônico (em horas) segue uma distribuição exponencial com taxa
por hora. A pergunta é: qual é a vida útil média esperada desse componente?
Informações importantes fornecidas:
(unidade: por hora).
O objetivo é calcular a esperança (valor médio) da variável aleatória que representa a vida útil.
Informações importantes fornecidas:
O objetivo é calcular a esperança (valor médio) da variável aleatória que representa a vida útil.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a distribuição exponencial e como se calcula a esperança. A função densidade de probabilidade (pdf) da distribuição exponencial é
e
para
. Aqui
é a taxa: ela indica quão rapidamente a probabilidade “decai” com o tempo. A esperança (valor médio) de uma variável contínua
com densidade
é definida por
No nosso caso, queremos calcular
usando a pdf acima.
Passo 3
Aplicando a definição ao caso exponencial:
Para avaliar essa integral usamos integração por partes. Escolhemos:
Então
A fórmula de integração por partes dá
Agora avaliamos os termos separadamente. Primeiro, o limite
porque a exponencial decai mais rápido que
cresce (pode-se justificar por L’Hôpital ou por conhecimento padrão). No
o termo é
. Portanto o termo de fronteira é
. O segundo termo é uma integral exponencial simples:
Somando, obtemos
Isto é uma fórmula geral importante: a vida média de uma exponencial é
.
Passo 4
Agora substituímos o valor numérico fornecido
. Calculamos
Para ver isso de forma clara, note que
, então
A unidade é horas, porque
estava em “por hora”.
Passo 5
Interpretação final e dica para prova: a esperança da distribuição exponencial é sempre
. Assim, com taxa maior (
maior) a vida média diminui; com taxa menor a vida média aumenta. Aqui, com
por hora, a vida média esperada do componente é de
horas. Força aí — decorar a fórmula
ajuda muito na prova.