Uma companhia aluga ônibus com capacidade para 50 passageiros para grupos de 35 ou mais pessoas. Se o grupo contém exatamente 35 pessoas, cada uma paga R 60 , 00 Para grupos maiores, a companhia reduz R1,00 por cada passageiro que excede os 35 . Determine o tamanho do grupo com o qual a companhia de ônibus ganhará mais.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado juntos! A gente tem uma companhia que aluga ônibus para grupos de 35 ou mais pessoas, com capacidade máxima de 50 passageiros. Se o grupo tiver exatamente 35 pessoas, cada uma paga R$60,00. Mas se o grupo for maior que 35, a companhia vai baixar R$1,00 por passageiro a mais. Nosso desafio aqui é descobrir qual o tamanho do grupo que faz a companhia ganhar mais grana. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de matemática, especificamente funções quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar. Vamos chamar de n o número de passageiros no grupo. Sabemos que 35 ≤ n ≤ 50.
Quando o grupo tem exatamente 35 pessoas, cada uma paga R$60,00. Então, a receita total (R) nesse caso é:

Passo 3

Agora, se o grupo for maior que 35, a companhia reduz R$1,00 por passageiro para cada pessoa que excede 35. Ou seja, se tivermos n passageiros, a redução no preço por pessoa será n - 35. Assim, o preço pago por cada passageiro será:
ç

Passo 4

Com o preço por passageiro definido, podemos expressar a receita total (R) como o produto do número de passageiros pelo preço por passageiro:
R(n) = n times (95 - n) = 95n - n^2
Essa é uma função quadrática que representa a receita em função do número de passageiros.

Passo 5

Para encontrar o número de passageiros que maximiza a receita, precisamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma função quadrática R(n) = an^2 + bn + c é dado por:
n = -b2a
No nosso caso, a = -1 e b = 95 . Substituindo na fórmula:
n = -952 times (-1) = 952 = 47,5
Como não podemos ter meio passageiro, vamos considerar os valores inteiros mais próximos: 47 e 48.

Passo 6

Vamos verificar qual desses valores dá a maior receita:
Para n = 47:
R(47) = 47 times (95 - 47) = 47 times 48 = R$2.256,00
Para n = 48:
R(48) = 48 times (95 - 48) = 48 times 47 = R$2.256,00
Ambos os valores resultam na mesma receita.

Resposta

O grupo com 47 ou 48 passageiros é o tamanho ideal para que a companhia de ônibus ganhe mais.

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