Uma companhia aluga ônibus com capacidade para 50 passageiros para grupos de 35 ou mais pessoas. Se o grupo contém exatamente 35 pessoas, cada uma paga R
60
1,00 por cada passageiro que excede os 35 . Determine o tamanho do grupo com o qual a companhia de ônibus ganhará mais.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado juntos! A gente tem uma companhia que aluga ônibus para grupos de 35 ou mais pessoas, com capacidade máxima de 50 passageiros. Se o grupo tiver exatamente 35 pessoas, cada uma paga R$60,00. Mas se o grupo for maior que 35, a companhia vai baixar R$1,00 por passageiro a mais. Nosso desafio aqui é descobrir qual o tamanho do grupo que faz a companhia ganhar mais grana. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouquinho de matemática, especificamente funções quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis para facilitar. Vamos chamar de n o número de passageiros no grupo. Sabemos que 35 ≤ n ≤ 50.
Quando o grupo tem exatamente 35 pessoas, cada uma paga R$60,00. Então, a receita total (R) nesse caso é:
Passo 3
Agora, se o grupo for maior que 35, a companhia reduz R$1,00 por passageiro para cada pessoa que excede 35. Ou seja, se tivermos n passageiros, a redução no preço por pessoa será n - 35. Assim, o preço pago por cada passageiro será:
Passo 4
Com o preço por passageiro definido, podemos expressar a receita total (R) como o produto do número de passageiros pelo preço por passageiro:
Essa é uma função quadrática que representa a receita em função do número de passageiros.
Passo 5
Para encontrar o número de passageiros que maximiza a receita, precisamos encontrar o vértice dessa parábola. A fórmula para o vértice de uma função quadrática
é dado por:
No nosso caso,
e
. Substituindo na fórmula:
Como não podemos ter meio passageiro, vamos considerar os valores inteiros mais próximos: 47 e 48.
Passo 6
Vamos verificar qual desses valores dá a maior receita:
Para n = 47:
Para n = 48:
Ambos os valores resultam na mesma receita.
Resposta
O grupo com 47 ou 48 passageiros é o tamanho ideal para que a companhia de ônibus ganhe mais.