Suponha que sob concorrência perfeita uma empresa pode vender a um preço de
100
x
C(x)=x^{2}+2 x+700
x$ que resulta no lucro máximo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que, num mercado de concorrência perfeita, vende cada unidade de um produto por $100. Se a empresa decide produzir
unidades por dia, o custo total dessa produção é dado por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a quantidade
que a empresa deve produzir para atingir o lucro máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é lucro. O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. A receita total (
) é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida. Como o preço é $100 por unidade, temos:
Passo 3
Agora, vamos expressar o lucro (
):
Substituindo as fórmulas que temos:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o ponto onde a função lucro atinge seu valor máximo. Como
é uma parábola com coeficiente de
negativo, o ponto máximo será o vértice da parábola.
Passo 5
A fórmula para encontrar o valor de
no vértice de uma parábola
é:
No nosso caso,
e
. Vamos substituir:
Resposta
A quantidade que a empresa deve produzir para obter o lucro máximo é de 49 unidades por dia.