Suponha que sob concorrência perfeita uma empresa pode vender a um preço de 100 por unidade um determinado produto Se x unidades for a produção diária, o custo total da produção diária será çãáçãááC(x)=x^{2}+2 x+700 Ache o valor de x$ que resulta no lucro máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma empresa que, num mercado de concorrência perfeita, vende cada unidade de um produto por $100. Se a empresa decide produzir 100 Se a empresa decide produzir unidades por dia, o custo total dessa produção é dado por unidades por dia, o custo total dessa produção é dado por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual a quantidade Nosso objetivo aqui é descobrir qual a quantidade que a empresa deve produzir para atingir o lucro máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é lucro. O lucro é a diferença entre a receita total e o custo total. A receita total ( ) é dada pelo preço de venda multiplicado pela quantidade vendida. Como o preço é $100 por unidade, temos:

Passo 3

Agora, vamos expressar o lucro ( L(x) ):
L(x) = R(x) - C(x)
Substituindo as fórmulas que temos:
L(x) = 100x - (x^2 + 2x + 700)
L(x) = 100x - x^2 - 2x - 700
L(x) = -x^2 + 98x - 700

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos determinar o ponto onde a função lucro atinge seu valor máximo. Como L(x) é uma parábola com coeficiente de x^2 negativo, o ponto máximo será o vértice da parábola.

Passo 5

A fórmula para encontrar o valor de x no vértice de uma parábola ax^2 + bx + c é:
x = -b2a
No nosso caso, a = -1 e b = 98 . Vamos substituir:
x = -982 times (-1)
x = -98-2
x = 49

Resposta

A quantidade que a empresa deve produzir para obter o lucro máximo é de 49 unidades por dia.

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