Uma caixa sem tampa será construída a partir de uma chapa metálica de 30 cm por 20 cm , cortando-se quadrados de lado
nos cantos e dobrando as laterais.
a) Escreva o volume
da caixa em função de
.
b) Determine o valor de
que maximiza o volume.
a) Escreva o volume
b) Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá uma chapa metálica retangular de
por
. Em cada um dos quatro cantos são cortados quadrados de lado
(em cm) e as abas são dobradas para formar uma caixa sem tampa.
Perguntas:
a) Escrever o volume da caixa em função de
.
b) Determinar o valor de que maximiza o volume.
Informações relevantes extraídas do enunciado: e
são as dimensões iniciais da chapa; o corte tem lado
; o volume da caixa aberta será função de
. Não se resolve aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Perguntas:
a) Escrever o volume
b) Determinar o valor de
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Determinar a expressão do volume — raciocínio geométrico passo a passo. Quando cortamos quadrados de lado
e dobramos as abas:
- a altura da caixa será
(essa é a medida das abas depois de dobradas); - o comprimento da base será a dimensão original
menos duas vezes (porque se corta um quadrado em cada extremidade), ou seja ; - a largura da base será
.
Volume de uma caixa retangular (sem tampa) é base vezes altura. Logo:
Para manipular mais facilmente, podemos expandir passo a passo. Primeiro calcule o produto
:
Multiplicando por
:
Passo 3
Domínio físico de
. Como as dimensões da base
e
precisam ser positivas, temos as restrições:
Além disso
. Portanto, o domínio físico é
Passo 4
Escolha do método para encontrar o máximo: usamos cálculo (derivada) porque temos uma função contínua diferenciável em
. Vou explicar rapidamente a regra que vamos usar: para encontrar extremos internos de uma função diferenciável, calculamos a derivada
, procuramos pontos críticos onde
(ou onde
não existe) e então usamos teste da segunda derivada ou análise do sinal para identificar máximos/minimos. Regra de derivação usada aqui é a regra do poder: se
então
, e a derivada de soma é soma das derivadas.
Calculemos a derivada de
:
Para extremos internos resolvemos
:
Podemos simplificar dividindo por
:
Iremos usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): se
então
Aqui
,
,
. Calcule o discriminante:
A raiz quadrada do discriminante é
. Então as soluções são
Passo 5
Selecionar a solução válida no domínio e verificar que é máximo. As duas raízes são
Numericamente, usando
,
Como o domínio físico exige
, descartamos
(maior que
). Logo o candidato interno é
. Verificação pela segunda derivada:
. Avaliando em
:
portanto a concavidade é negativa nesse ponto, confirmando que é um máximo local. Comparando com os extremos do intervalo,
e
, conclui-se que esse máximo local é o máximo absoluto no domínio físico.
Passo 6
Resultado final: o valor de
que maximiza o volume é a solução válida encontrada: