Uma caixa sem tampa será construída a partir de uma chapa metálica de 30 cm por 20 cm , cortando-se quadrados de lado x nos cantos e dobrando as laterais.
a) Escreva o volume V(x) da caixa em função de x.
b) Determine o valor de x que maximiza o volume.

Passo 1

O enunciado dá uma chapa metálica retangular de 30\\ \text{cm} por 20\\ \text{cm}. Em cada um dos quatro cantos são cortados quadrados de lado x (em cm) e as abas são dobradas para formar uma caixa sem tampa.
Perguntas:
a) Escrever o volume V(x) da caixa em função de x.
b) Determinar o valor de x que maximiza o volume.
Informações relevantes extraídas do enunciado: 30\\ \text{cm} e 20\\ \text{cm} são as dimensões iniciais da chapa; o corte tem lado x; o volume da caixa aberta será função de x. Não se resolve aqui — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Determinar a expressão do volume — raciocínio geométrico passo a passo. Quando cortamos quadrados de lado x e dobramos as abas:
  • a altura da caixa será x (essa é a medida das abas depois de dobradas);
  • o comprimento da base será a dimensão original 30\\ \text{cm} menos duas vezes x (porque se corta um quadrado em cada extremidade), ou seja 30-2x;
  • a largura da base será 20-2x.
    Volume de uma caixa retangular (sem tampa) é base vezes altura. Logo:
V(x)=x\cdot(30-2x)\cdot(20-2x).
Para manipular mais facilmente, podemos expandir passo a passo. Primeiro calcule o produto (30-2x)(20-2x):
(30-2x)(20-2x)=600-60x-40x+4x^{2}=600-100x+4x^{2}.
Multiplicando por x:
V(x)=x\,(600-100x+4x^{2})=600x-100x^{2}+4x^{3}.

Passo 3

Domínio físico de x. Como as dimensões da base 30-2x e 20-2x precisam ser positivas, temos as restrições:
30-2x>0\implies x<15,\qquad 20-2x>0\implies x<10.
Além disso x>0. Portanto, o domínio físico é
0<x<10.

Passo 4

Escolha do método para encontrar o máximo: usamos cálculo (derivada) porque temos uma função contínua diferenciável em (0,10). Vou explicar rapidamente a regra que vamos usar: para encontrar extremos internos de uma função diferenciável, calculamos a derivada V'(x), procuramos pontos críticos onde V'(x)=0 (ou onde V' não existe) e então usamos teste da segunda derivada ou análise do sinal para identificar máximos/minimos. Regra de derivação usada aqui é a regra do poder: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}, e a derivada de soma é soma das derivadas.
Calculemos a derivada de V(x)=600x-100x^{2}+4x^{3}:
V'(x)=600-200x+12x^{2}.
Para extremos internos resolvemos V'(x)=0:
12x^{2}-200x+600=0.
Podemos simplificar dividindo por 4:
3x^{2}-50x+150=0.
Iremos usar a fórmula quadrática (fórmula de Bhaskara): se ax^{2}+bx+c=0 então
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=3, b=-50, c=150. Calcule o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-50)^{2}-4\cdot3\cdot150=2500-1800=700.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{700}=10\sqrt{7}. Então as soluções são
x=\frac{50\pm 10\sqrt{7}}{6}=\frac{25\pm5\sqrt{7}}{3}.

Passo 5

Selecionar a solução válida no domínio e verificar que é máximo. As duas raízes são
x_{1}=\frac{25-5\sqrt{7}}{3},\qquad x_{2}=\frac{25+5\sqrt{7}}{3}.
Numericamente, usando \sqrt{7}\approx2,6458,
x_{1}\approx3,9237\\ \text{cm},\qquad x_{2}\approx12,743\\ \text{cm}.
Como o domínio físico exige 0<x<10, descartamos x_{2} (maior que 10). Logo o candidato interno é x_{1}. Verificação pela segunda derivada: V''(x)=-200+24x. Avaliando em x_{1}\approx3,9237:
V''(3,9237)\approx -200+24\cdot3,9237\approx -105{,}9<0,
portanto a concavidade é negativa nesse ponto, confirmando que é um máximo local. Comparando com os extremos do intervalo, V(0)=0 e V(10)=0, conclui-se que esse máximo local é o máximo absoluto no domínio físico.

Passo 6

Resultado final: o valor de x que maximiza o volume é a solução válida encontrada:
x=\frac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx3{,}9237\\ \text{cm}.

Resposta

V(x)=x(30-2x)(20-2x)=600x-100x^{2}+4x^{3}
x=\dfrac{25-5\sqrt{7}}{3}\approx3{,}9237\\ \text{cm}

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