A caixa
tem 9 cartas numeradas de 1 a 9 . A caixa
tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de
?
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem duas caixas:
- Caixa A com cartas de 1 a 9.
- Caixa B com cartas de 1 a 5.
O enunciado manda escolher aleatoriamente uma das caixas (A ou B) e tirar uma carta. A gente observa que o número é par e quer saber: “Qual a probabilidade de essa carta ter vindo da caixa A?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos usar:
- P(A) e P(B): probabilidades de escolher cada caixa.
- P(E | A) e P(E | B): probabilidades de tirar número par em cada caixa.
- Teorema da probabilidade total para achar P(E).
- Teorema de Bayes para achar P(A | E).
Passo 2
Primeiro, as probabilidades de escolher cada caixa são iguais, então:
Agora, calculemos P(número par | caixa A).
Na caixa A (1–9) os pares são {2,4,6,8}: 4 cartas em 9.
Na caixa A (1–9) os pares são {2,4,6,8}: 4 cartas em 9.
Passo 3
Fazendo o mesmo para a caixa B:
Na caixa B (1–5) os pares são {2,4}: 2 cartas em 5.
Na caixa B (1–5) os pares são {2,4}: 2 cartas em 5.
Passo 4
Usamos a fórmula da probabilidade total para achar P(E), onde E = “saiu número par”:
Substituindo:
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar
Substituindo:
Resposta
A probabilidade de a carta par ter vindo da caixa A é
.