A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9 . A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de que a carta sorteada tenha vindo de A ?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem duas caixas:
  • Caixa A com cartas de 1 a 9.
  • Caixa B com cartas de 1 a 5.
O enunciado manda escolher aleatoriamente uma das caixas (A ou B) e tirar uma carta. A gente observa que o número é par e quer saber: “Qual a probabilidade de essa carta ter vindo da caixa A?”
Conteúdo: probabilidade condicional e Teorema de Bayes. Vamos usar:
  • P(A) e P(B): probabilidades de escolher cada caixa.
  • P(E | A) e P(E | B): probabilidades de tirar número par em cada caixa.
  • Teorema da probabilidade total para achar P(E).
  • Teorema de Bayes para achar P(A | E).

Passo 2

Primeiro, as probabilidades de escolher cada caixa são iguais, então:
P(A) = tfrac12, P(B) = tfrac12
Agora, calculemos P(número par | caixa A).
Na caixa A (1–9) os pares são {2,4,6,8}: 4 cartas em 9.
P(E mid A) = 49

Passo 3

Fazendo o mesmo para a caixa B:
Na caixa B (1–5) os pares são {2,4}: 2 cartas em 5.
P(E mid B) = 25

Passo 4

Usamos a fórmula da probabilidade total para achar P(E), onde E = “saiu número par”:
P(E) = P(A),P(Emid A) + P(B),P(Emid B)
Substituindo:
P(E) = tfrac12cdottfrac49 + tfrac12cdottfrac25 = 418 + 210 = 29 + 15 = 1045 + 945 = 1945

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema de Bayes para achar
P(A mid E) = P(A),P(Emid A)P(E)
Substituindo:
P(Amid E) = tfrac12cdottfrac49tfrac1945 = tfrac418tfrac1945 = 2/919/45 = 29times4519 = 90171 = 1019

Resposta

A probabilidade de a carta par ter vindo da caixa A é .

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