1. Um caixa com o topo aberto é construída a partir de uma peça de aço retangular de lados 25 cm e 40 cm . Para obter a caixa, deve-se cortar quadrados em cada canto do retângulo de metal. Qual o lado dos quadrados, se a caixa deve ter 250 cm^3 ?

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: a gente tem uma folha de metal retangular de 25 cm por 40 cm e quer transformar numa caixinha sem tampa. Para isso a gente corta quadradinhos de lado em cada um dos quatro cantos e dobra as abas. O volume dessa caixinha tem de ser .
Conteúdo: montagem de equação de volume e resolução de equação cúbica (por aproximação). Vamos precisar da fórmula do volume de um paralelepípedo e de noções básicas de polinômio.

Passo 2

Quando você corta quadrados de lado l(25 - 2xr)el(40 - 2xr) , a altura da caixa fica V = x,(25 - 2x),(40 - 2x) , e as dimensões da base ficam
Logo o volume é

Passo 3

A condição do problema é x,(25 - 2x),(40 - 2x) = 250 . Então montamos:
(25 - 2x)(40 - 2x) = 25cdot40 - 25cdot2x - 2xcdot40 + (2x)^2 =1000 -130x +4x^2
Para manipular, primeiro expandimos x,l(1000 - 130x + 4x^2r) =250 ;Longrightarrow; 4x^3 -130x^2 +1000x -250 =0 :
Assim
Aí temos uma equação cúbica complicada de fatorar “na unha”.

Passo 4

Como não há fatoração simples, a gente recorre a métodos numéricos ou tentativas com a calculadora para achar que faça a expressão ser zero. Testando valores entre 0 cm e 12,5 cm (porque se , a base vai virar zero ou negativa), acha-se duas soluções plausíveis:
  • Uma pequena, perto de .
  • Outra maior, perto de .

Passo 5

Ambas as soluções tornam e positivas (ou seja, a base existe). No entanto, na prática, geralmente se usa o corte menor para não ficar uma “tira” muito estreita.

Resposta

O lado dos quadrados pode ser aproximadamente
boxedx approx 0,26 cmouboxedx approx 11,85 cm

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