Questão 1 - (Valor: 1+4=5 pontos)
(a) Determine a fórmula polar do número complexo u=3(raiz22-i raiz22).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente escrever o número complexo
u = 3l(tfracraiz22 - i,tfracraiz22r)
na forma polar. Isso é conteúdo de números complexos: sabemos que qualquer u = rl(costheta + isinthetar) ou u = r,e^itheta, pode ser reescrito como
onde é o módulo e é o argumento. Vamos precisar:
  1. calcular os coeficientes reais e imaginários ,
  2. achar o módulo ,
  3. achar o argumento , cuidando do quadrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever u = 3cdot raiz22 ;-; i,3cdot raiz22 ;Longrightarrow; a = 3,raiz22, b = -3,raiz22 . Distribuindo o 3:

Passo 3

Agora o módulo r = |u| = raiza^2 + b^2 = raizl(3raiz22r)^2 + l(-3raiz22r)^2 = raiz2cdotl(3raiz22r)^2 = raiz2cdot 9cdot24 = raiz 182 = raiz9 = 3 :

Passo 4

Agora o argumento theta = arctan!l(tfracbar), . A fórmula básica é
arctan!l(-3raiz223raiz22r) = arctan(-1) = -pi4
mas sempre olhando em qual quadrante está. Aqui e , ou seja, quarto quadrante. Calculamos
Como já cai no quarto quadrante, está certinho.

Resposta

boxedu = 3l(cos(-tfracpi4) + isin(-tfracpi4)r) ou u = 3,e^-ipi/4

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