Qual o número mínimo de iterações k que será realizado pelo algoritmo do método da bisseç̧ão para satisfazer o critério de parada: b-a supondo que tol =10^-4 e o intervalo inicial tem amplitude 1? Generalize seu resultado, em função de tol e da amplitude do intervalo inicial.

Passo 1

Beleza, a questão tá perguntando quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo pela metade (iterações) no método da bissecção até que o comprimento do intervalo fique menor que a tolerância tol. Aqui o conteúdo é o “método da bissecção” e o que vamos usar é a ideia de que a cada iteração a amplitude do intervalo inicial é dividida por 2.

Passo 2

Depois de k iterações, a amplitude do intervalo original b0 - a02^k vira
b0 - a02^k < tol
O critério de parada pede que isso seja menor que tol, ou seja:
Para entender isso, lembramos que dividir por 2^k é só ir cortando o intervalo ao meio k vezes.

Passo 3

Isolando log2!l(tfracb0 - a0tolr) < k na desigualdade k = llceil log2!l(tfracb0 - a0tolr)rrceil , a gente faz:
  1. multiplica ambos os lados por : ,
  2. divide por tol: ,
  3. tira log base 2:
Como k é inteiro, o mínimo k que satisfaz é

Passo 4

Agora, pro caso numérico: a amplitude inicial é 110^-4 = 10^4, log2(10^4) = log(10^4)log(2) approx 4ln 10ln 2approx 13,29 e .
Então .

Resposta

Número mínimo de iterações para tol = k = 14 e intervalo de amplitude 1:
k = llceil log2!l(tfracb0 - a0tolr)rrceil
Generalizando para qualquer tol e amplitude inicial :

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