Qual o número mínimo de iterações
que será realizado pelo algoritmo do método da bisseç̧ão para satisfazer o critério de parada:
supondo que tol
o intervalo inicial tem amplitude 1? Generalize seu resultado, em função de tol e da amplitude do intervalo inicial.
Passo 1
Beleza, a questão tá perguntando quantas vezes a gente precisa dividir o intervalo pela metade (iterações) no método da bissecção até que o comprimento do intervalo fique menor que a tolerância tol. Aqui o conteúdo é o “método da bissecção” e o que vamos usar é a ideia de que a cada iteração a amplitude do intervalo inicial é dividida por 2.
Passo 2
Depois de k iterações, a amplitude do intervalo original
vira
O critério de parada pede que isso seja menor que tol, ou seja:
Para entender isso, lembramos que dividir por 2^k é só ir cortando o intervalo ao meio k vezes.
Passo 3
Isolando
na desigualdade
, a gente faz:
- multiplica ambos os lados por
: , - divide por tol:
, - tira log base 2:
Como k é inteiro, o mínimo k que satisfaz é
Passo 4
Agora, pro caso numérico: a amplitude inicial é
e
.
Então
.
Resposta
Número mínimo de iterações para tol =
e intervalo de amplitude 1:
Generalizando para qualquer tol e amplitude inicial
: