As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
(3,0.05) Qual é a probabilidade de uma caixa selecionada ao acaso ter peso entre 444 e 455 gramas?

Passo 1

O enunciado diz que o peso X de uma caixa segue X\sim N(\mu=450,\sigma=10) e quer a probabilidade de \,444\le X\le455. O conteúdo é normal padrão e vamos usar padronização para calcular

Passo 2

Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-450}{10},
que segue Z\sim N(0,1).

Passo 3

Traduzimos o intervalo em Z:
z_1=\frac{444-450}{10}=-0,6, \quad z_2=\frac{455-450}{10}=0,5.
Então
P(444\le X\le455) = P\bigl(z_1\le Z\le z_2\bigr) = P(-0,6\le Z\le0,5).

Passo 4

Pelo valor da tabela da normal padrão,
\Phi(0,5)\approx0,6915 e \Phi(-0,6)=1-\Phi(0,6)\approx1-0,7257=0,2743.
Logo
P(-0,6\le Z\le0,5) =\Phi(0,5)-\Phi(-0,6) =0,6915-0,2743 =0,4172.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0,417.

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