As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
(3,0.05) Qual é a probabilidade do peso médio, de uma amostra de 10 caixas, estar entre 444 e 455 gramas?

Passo 1

O enunciado nos diz que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal com média \mu=450 g e desvio padrão \sigma=10 g. Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n=10 e queremos a probabilidade de o peso médio amostral \bar X estar entre 444 g e 455 g. Aqui vamos usar o fato de que, para amostras de tamanho n de uma normal,
\bar X\sim N\bigl(\mu,\;\sigma/\sqrt{n}\bigr).

Passo 2

Identificamos os parâmetros da distribuição de \bar X:
E(\bar X)=\mu=450,\qquad \mathrm{SD}(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{10}}= \;3{,}1623\;\text{g}.

Passo 3

Padronizamos os limites 444 g e 455 g usando
Z=\frac{\bar X - 450}{3{,}1623}\sim N(0,1).
Para o limite inferior:
z_1 = \frac{444-450}{3{,}1623} = -\frac{6}{3{,}1623}\approx -1{,}897.
Para o limite superior:
z_2 = \frac{455-450}{3{,}1623} = \frac{5}{3{,}1623}\approx 1{,}581.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão, obtemos
\Phi(1{,}581)\approx 0{,}9432, \qquad \Phi(-1{,}897)=1-\Phi(1{,}897)\approx 1-0{,}9710=0{,}0290.

Passo 5

A probabilidade desejada é
P(444\le\bar X\le455) =\Phi(1{,}581)-\Phi(-1{,}897) \approx0{,}9432-0{,}0290=0{,}9142.

Resposta

A probabilidade é aproximadamente 0{,}914.

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