As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
(1, 1.0) Deseja-se saber qual é o peso de uma caixa que é superado por apenas 15 \% das caixas?

Passo 1

O enunciado diz que o peso de cada caixa segue uma distribuição normal com média \mu=450 g e desvio padrão \sigma=10 g. Queremos o valor x_{0} tal que apenas 15\% das caixas pesem mais que x_{0}. Em outras palavras,
P(X>x_{0})=0,15.
Isso é conteúdo de percentil em distribuição normal.

Passo 2

Como P(X>x_{0})=0,15, então
P(X\le x_{0})=1-0,15=0,85.
Chamando \Phi a função de distribuição da normal padrão, temos
\Phi\Bigl(\frac{x_{0}-\mu}{\sigma}\Bigr)=0,85.

Passo 3

Se definirmos
z_{0}=\frac{x_{0}-\mu}{\sigma},
então
z_{0}=\Phi^{-1}(0,85)\approx1,036.

Passo 4

Voltando à variável original,
x_{0}=\mu+\sigma\,z_{0} =450+10\times1,036 =460,36\text{ g}.
Arredondando com uma casa decimal (tolerância de 1{,}0 g), obtemos 460,4 g.

Resposta

460,4 gramas.

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