As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
(1,1.0) Deseja-se saber qual é o peso médio amostral que é superado por 15 \% das amostras?

Passo 1

O enunciado diz que cada caixa tem peso individual X\sim N(\mu=450,\sigma=10) em gramas. Seleciona-se uma amostra de tamanho n=10 e interessa o peso médio amostral \overline{X}. Queremos encontrar o valor x tal que apenas 15 % das amostras tenham média acima de x, ou seja,
P(\overline{X}>x)=0,15.

Passo 2

Pela teoria, a média amostral de uma normal é também normal com
E(\overline{X})=\mu=450, \qquad \mathrm{SD}(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{10}}\,.

Passo 3

Como queremos P(\overline{X}>x)=0,15, temos
P(\overline{X}\le x)=0,85.
Chamando de z_{0,85} o quantil 85 % da normal padrão, obtemos
x = \mu + z_{0,85}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 4

Pelas tabelas ou calculadora, z_{0,85}\approx1,0364. Além disso,
\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\approx3,1623.
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x \approx 450 + 1,0364\times3,1623 \approx 453,277.

Passo 5

Arredondando para uma casa decimal (tolerância de \pm1{,}0 g),
x\approx453,3\text{ gramas}.

Resposta

O peso médio amostral que é superado por 15 % das amostras é aproximadamente 453,3 gramas.

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