As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
(3,0.05) Considerando a máquina ajustada, qual é a probabilidade de encontrar um peso médio amostral fora dos limites [447, 453]?

Passo 1

O enunciado diz que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média \mu=450 g e desvio padrão \sigma=10 g. Numa inspeção toma-se uma amostra aleatória de tamanho n=10 e para a média amostral \overline{X} há os limites de controle inferiores e superiores iguais a 447 g e 453 g. Queremos a probabilidade de, estando a máquina ajustada (ou seja, \mu=450), encontrar \overline{X}<447 ou \overline{X}>453.

Passo 2

Sabendo que, para X_i\sim N(\mu,\sigma^2) i.i.d. de tamanho n, a média amostral
\overline{X} \sim N\!\bigl(\mu,\; \sigma^2/n\bigr),
aqui temos
\displaystyle \overline{X}\sim N\!\bigl(450,\;(10)^2/10\bigr)=N(450,10/\sqrt{10}\,)^2.

Passo 3

O desvio-padrão da média é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{10}}\approx3{,}1623\\ \text{g}.

Passo 4

Convertendo os limites em escores- z:
z_{\rm inf} =\frac{447-450}{\sigma_{\overline{X}}} =\frac{-3}{3{,}1623}\approx-0{,}9487, \quad z_{\rm sup} =\frac{453-450}{3{,}1623}\approx0{,}9487.
Como a distribuição é simétrica,
P(\overline{X}<447\text{ ou }\overline{X}>453) =2\,P\bigl(Z>0{,}9487\bigr).

Passo 5

Consultando a tabela normal padrão, para z=0{,}9487 temos
\Phi(0{,}9487)\approx0{,}8289, logo
P\bigl(Z>0{,}9487\bigr)=1-\Phi(0{,}9487)\approx1-0{,}8289=0{,}1711
e
2\times0{,}1711=0{,}3422\approx0{,}343.

Resposta

A probabilidade de a média amostral ficar fora de [447,453] é aproximadamente 0{,}343.

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