As caixas de cereais produzidas em uma determinada fábrica são regularmente inspecionadas e devem conter o peso médio de 450 gramas. Assume-se que os pesos individuais das caixas seguem uma distribuição normal de média 450 e desvio padrão de 10 gramas. Nas inspeções de rotina, o fiscal seleciona uma amostra aleatória de 10 caixas de cereais e se o peso médio amostral estiver abaixo de 447 ou acima de 453 , o processo de fabricação é parado e a máquina de encher as caixas é ajustada. (obs) No inicio de cada item a notação ( d, tol) indica o número de decimais e a tolerância que será considerada.
( 1,0.5 ) Considerando a máquina ajustada, qual deveria ser o valor crítico \Delta (em gramas) tal que P(\mu-\Delta \leq \bar{Y} \leq \mu+\Delta)=0.9 ?

Passo 1

O enunciado diz que cada caixa tem peso individual Y_i\sim N(\mu,\,\sigma^2) com \mu=450 g e \sigma=10 g, e que se toma uma amostra de tamanho n=10. Queremos achar \Delta tal que
P(\mu-\Delta \le \bar Y \le \mu+\Delta)=0.90.
O conteúdo envolvido é distribuição do erro amostral da média para amostra de população normal.

Passo 2

Como a população é normal, a distribuição da média amostral é
\bar Y \sim N\!\bigl(\mu,\;\sigma^2/n\bigr) = N\!\Bigl(\mu,\;(10)^2/10\Bigr),
portanto o desvio-padrão de \bar Y é
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{10}}.

Passo 3

Padronizando a probabilidade central, temos
P(\mu-\Delta \le \bar Y \le \mu+\Delta) = P\!\Bigl(-\tfrac{\Delta}{\sigma/\sqrt{n}}\le Z\le \tfrac{\Delta}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr) =0.90,
onde Z\sim N(0,1). Logo
\tfrac{\Delta}{\sigma/\sqrt{n}} = z_{0.95}.

Passo 4

O quantil que satisfaz P(-z_{0.95}\le Z\le z_{0.95})=0.90 é
z_{0.95}\approx1.645.

Passo 5

Basta calcular
\Delta = z_{0.95}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} =1.645\times\frac{10}{\sqrt{10}} \approx5.2.

Resposta

\Delta \approx 5{,}2 gramas.

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