Um pesquisador está estudando um novo protocolo de tratamento para combater uma determinada doença. O interesse está em comparar o desempenho do novo tratamento com o método padrão de tratamento. Em uma pesquisa sobre o tema, um primeiro grupo de 380 pacientes recebeu tratamento padrão, enquanto que um segundo grupo de 125 pacientes recebeu o novo tratamento. Entre os indivíduos tratados com o método padrão, 129 não foram recuperados, enquanto 26 não foram recuperados entre aqueles tratados segundo o novo protocolo. Uma análise estatística deve ser feita para avaliar e comparar as opções de tratamento. Proceda um teste estatístico de hipótese adequado para verificar se a taxa de pessoas com persistência da doença (ou seja, a taxa de não recuperados) foi menor entre os que receberam o novo tratamento. O teste de hipótese deve utilizar nível de significância \alpha=0.03.
OBS 1: defina o tratamento padrão como grupo 1 e o novo como grupo 2
OBS 2: Os números entre parênteses no início das questões numéricas referem-se ao número de casas decimais da resposta e a tolerância considerada.
a. Qual a distribuição da estatística de teste?
b. Qual o tipo de hipótese alternativa?
c. (3,0.020) Qual o valor crítico do teste (o valor que define a região crítica), na escala da estatística de teste? (Se o teste for bilateral informe apenas um dos valores.)
d. (3, 0.020) Qual o valor da estatística de teste?
e. Em qual faixa de valores se encontra o p-valor?
f. Ao nível de significância de 3 \%, pode-se rejeitar a hipótese nula?

Passo 1

O enunciado compara duas proporções de não recuperados em tratamentos: padrão (grupo 1, n_1=380, x_1=129) e novo (grupo 2, n_2=125, x_2=26). O conteúdo é teste de hipóteses para diferença de proporções com aproximação normal.

Passo 2

Definimos as hipóteses:
H_0:\;p_1 - p_2 = 0
H_1:\;p_1 - p_2 > 0
pois queremos verificar se a taxa de não recuperados é menor no novo tratamento ( p_2) que no padrão ( p_1).

Passo 3

A estatística de teste usa a proporção conjunta \hat p=\frac{x_1+x_2}{n_1+n_2} e é
Z \;=\;\frac{\hat p_1 - \hat p_2}{\sqrt{\hat p\,(1-\hat p)\,\bigl(\tfrac1{n_1}+\tfrac1{n_2}\bigr)}},
que, sob H_0, é aproximadamente \mathcal{N}(0,1).

Passo 4

Para \alpha=0,03 em teste unilateral direito, o valor crítico é
z_{1-\alpha} \;=\; z_{0,97} \;\approx\; 1{,}880.

Passo 5

Calculamos
\hat p_1=\frac{129}{380}\approx0{,}33947,\quad \hat p_2=\frac{26}{125}=0{,}20800,
\hat p=\frac{129+26}{380+125}=\frac{155}{505}\approx0{,}30693,
\mathrm{SE}=\sqrt{0{,}30693\,(1-0{,}30693)\,\bigl(\tfrac1{380}+\tfrac1{125}\bigr)}\approx0{,}04755,
Z=\frac{0{,}33947-0{,}20800}{0{,}04755}\approx2{,}766.

Passo 6

O p-valor unilateral é
P(Z>2{,}766)\approx0{,}0029,
logo situa-se entre 0{,}002 e 0{,}004.

Passo 7

Como p\text{-valor}\approx0{,}0029<\alpha=0,03, rejeitamos H_0 e concluímos evidência de que p_1>p_2.

Resposta

a. A estatística de teste é aproximadamente \mathcal{N}(0,1).
b. Hipótese alternativa unilateral direita: H_1: p_1 - p_2 > 0.
c. Valor crítico: z_{1-\alpha}=z_{0,97}\approx1{,}880.
d. Estatística de teste: Z\approx2{,}766.
e. p-valor em 0{,}002<p<0{,}004.
f. Sim, rejeita-se H_0 ao nível de 3\%.

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