As caixas de um cereal produzido em uma fábrica, devem ter um conteúdo de 16 onças. Un inspector tomou uma amostra que deu os seguintes pesos em onças: 15, 7 ; 15,7 ; 16,3 ; 15,8 ; 16,1 ; 15,9 ; 16,2 ; 15,9 ; 15,8 ; 15,66. Assumindo que o peso das caixas de cereal segue distribuição Normal, indicar se é razoável que o inspector, usando um coeficiente de confiança de 95 % pedir que se multe ao fabricante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre caixas de cereal que deveriam ter 16 onças cada. Um inspetor pegou uma amostra de 10 caixas e mediu os pesos delas: 15,7; 15,7; 16,3; 15,8; 16,1; 15,9; 16,2; 15,9; 15,8; 15,66 onças. A gente sabe que os pesos seguem uma distribuição Normal, que é uma daquelas curvas em forma de sino. A pergunta é: com 95% de confiança, o inspetor pode justificar multar o fabricante? Para isso, vamos usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos pesos das caixas na amostra. A média é tipo o “peso médio” das caixas que o inspetor mediu.
Média (barx) = 15,7 + 15,7 + 16,3 + 15,8 + 16,1 + 15,9 + 16,2 + 15,9 + 15,8 + 15,6610 é
Vamos somar todos esses valores:
15,7 + 15,7 + 16,3 + 15,8 + 16,1 + 15,9 + 16,2 + 15,9 + 15,8 + 15,66 = 160,06
Agora, dividimos pela quantidade de observações (10):
barx = 160,0610 = 16,006 onças ç
Então, a média da amostra é aproximadamente 16,006 onças.

Passo 3

Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão mostra o quanto os pesos das caixas variam em relação à média. Quanto menor, mais próxima estão as caixas do peso médio.
Primeiro, vamos encontrar a diferença de cada peso para a média, elevar ao quadrado, somar tudo e dividir pelo número de observações menos 1.
s = raiz sum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • $ x_i $ são os pesos individuais.
  • $ \bar{x} $ é a média.
  • $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
  1. $ (15,7 - 16,006)^2 = ( -0,306 )^2 = 0,0936 $
  2. $ (15,7 - 16,006)^2 = 0,0936 $
  3. $ (16,3 - 16,006)^2 = (0,294)^2 = 0,0864 $
  4. $ (15,8 - 16,006)^2 = ( -0,206 )^2 = 0,0424 $
  5. $ (16,1 - 16,006)^2 = (0,094)^2 = 0,0088 $
  6. $ (15,9 - 16,006)^2 = ( -0,106 )^2 = 0,0112 $
  7. $ (16,2 - 16,006)^2 = (0,194)^2 = 0,0376 $
  8. $ (15,9 - 16,006)^2 = 0,0112 $
  9. $ (15,8 - 16,006)^2 = 0,0424 $
  10. $ (15,66 - 16,006)^2 = ( -0,346 )^2 = 0,1193 $
Somando tudo:
xi
Agora, dividimos por $ n - 1 = 10 - 1 = 9 $:
barx
Por fim, tiramos a raiz quadrada:
n ç
Então, o desvio padrão é aproximadamente 0,246 onças.

Passo 4

Agora precisamos montar o intervalo de confiança de 95% para a média dos pesos das caixas. Esse intervalo nos dá um intervalo dentro do qual estamos 95% confiantes que a verdadeira média da população está.
Como a amostra é pequena (menor que 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. Porém, se já tivermos o desvio padrão da amostra e a amostra segue uma distribuição Normal, podemos usar a distribuição t.
Para um intervalo de confiança de 95% com $ n - 1 = 9 $ graus de liberdade, o valor crítico $ t_{\alpha/2} $ é aproximadamente 2,262 (consultado em tabelas de t).

Passo 5

Vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Erro Padrão = sraizn = 0,246raiz10 approx 0,2463,162 approx 0,078 ã

Passo 6

Agora, montamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2 times Erro Padrão ã
Substituindo os valores:
16,006 pm 2,262 times 0,078
Calculando a margem de erro:
2,262 times 0,078 approx 0,1767
Então, o intervalo de confiança é:
16,006 - 0,1767 approx 15,829
16,006 + 0,1767 approx 16,183
Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média dos pesos das caixas é de aproximadamente 15,829 onças a 16,183 onças.

Passo 7

Agora, vamos ver se o peso oficial de 16 onças está dentro desse intervalo de confiança.
O intervalo vai de 15,829 a 16,183 onças. O valor 16 onças está dentro desse intervalo.

Resposta

Como o peso padrão de 16 onças está dentro do intervalo de confiança de 95%, é não razoável que o inspetor peça para multar o fabricante com base nessa amostra.

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