As caixas de um cereal produzido em uma fábrica, devem ter um conteúdo de 16 onças. Un inspector tomou uma amostra que deu os seguintes pesos em onças: 15,
. Assumindo que o peso das caixas de cereal segue distribuição Normal, indicar se é razoável que o inspector, usando um coeficiente de confiança de
pedir que se multe ao fabricante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre caixas de cereal que deveriam ter 16 onças cada. Um inspetor pegou uma amostra de 10 caixas e mediu os pesos delas: 15,7; 15,7; 16,3; 15,8; 16,1; 15,9; 16,2; 15,9; 15,8; 15,66 onças. A gente sabe que os pesos seguem uma distribuição Normal, que é uma daquelas curvas em forma de sino. A pergunta é: com 95% de confiança, o inspetor pode justificar multar o fabricante? Para isso, vamos usar conceitos de estatística como média, desvio padrão e intervalo de confiança.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos pesos das caixas na amostra. A média é tipo o “peso médio” das caixas que o inspetor mediu.
Vamos somar todos esses valores:
Agora, dividimos pela quantidade de observações (10):
Então, a média da amostra é aproximadamente 16,006 onças.
Passo 3
Agora, vamos calcular o desvio padrão da amostra. O desvio padrão mostra o quanto os pesos das caixas variam em relação à média. Quanto menor, mais próxima estão as caixas do peso médio.
Primeiro, vamos encontrar a diferença de cada peso para a média, elevar ao quadrado, somar tudo e dividir pelo número de observações menos 1.
Onde:
- $ x_i $ são os pesos individuais.
- $ \bar{x} $ é a média.
- $ n $ é o número de observações.
Vamos calcular cada diferença ao quadrado:
- $ (15,7 - 16,006)^2 = ( -0,306 )^2 = 0,0936 $
- $ (15,7 - 16,006)^2 = 0,0936 $
- $ (16,3 - 16,006)^2 = (0,294)^2 = 0,0864 $
- $ (15,8 - 16,006)^2 = ( -0,206 )^2 = 0,0424 $
- $ (16,1 - 16,006)^2 = (0,094)^2 = 0,0088 $
- $ (15,9 - 16,006)^2 = ( -0,106 )^2 = 0,0112 $
- $ (16,2 - 16,006)^2 = (0,194)^2 = 0,0376 $
- $ (15,9 - 16,006)^2 = 0,0112 $
- $ (15,8 - 16,006)^2 = 0,0424 $
- $ (15,66 - 16,006)^2 = ( -0,346 )^2 = 0,1193 $
Somando tudo:
Agora, dividimos por $ n - 1 = 10 - 1 = 9 $:
Por fim, tiramos a raiz quadrada:
Então, o desvio padrão é aproximadamente 0,246 onças.
Passo 4
Agora precisamos montar o intervalo de confiança de 95% para a média dos pesos das caixas. Esse intervalo nos dá um intervalo dentro do qual estamos 95% confiantes que a verdadeira média da população está.
Como a amostra é pequena (menor que 30) e não sabemos o desvio padrão da população, usamos a distribuição t de Student. Porém, se já tivermos o desvio padrão da amostra e a amostra segue uma distribuição Normal, podemos usar a distribuição t.
Para um intervalo de confiança de 95% com $ n - 1 = 9 $ graus de liberdade, o valor crítico $ t_{\alpha/2} $ é aproximadamente 2,262 (consultado em tabelas de t).
Passo 5
Vamos calcular o erro padrão da média, que é o desvio padrão da amostra dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.
Passo 6
Agora, montamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a margem de erro:
Então, o intervalo de confiança é:
Portanto, o intervalo de confiança de 95% para a média dos pesos das caixas é de aproximadamente 15,829 onças a 16,183 onças.
Passo 7
Agora, vamos ver se o peso oficial de 16 onças está dentro desse intervalo de confiança.
O intervalo vai de 15,829 a 16,183 onças. O valor 16 onças está dentro desse intervalo.
Resposta
Como o peso padrão de 16 onças está dentro do intervalo de confiança de 95%, é não razoável que o inspetor peça para multar o fabricante com base nessa amostra.