Numa urna há 40 bolas brancas e 60 pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações:
a) Sem reposição.
b) Com reposição.
a) Sem reposição.
b) Com reposição.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma urna com 40 bolas brancas e 60 pretas, totalizando 100 bolas. A gente vai retirar 20 bolas dessa urna e quer saber qual a probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas. Vamos resolver isso de duas formas:
a) Retirando sem colocar as bolas de volta (sem reposição).
b) Retirando e colocando as bolas de volta após cada retirada (com reposição).
a) Retirando sem colocar as bolas de volta (sem reposição).
b) Retirando e colocando as bolas de volta após cada retirada (com reposição).
Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações. Precisamos entender como calcular as chances de eventos específicos acontecerem nessas situações.
Passo 2
Parte a) Sem Reposição
Quando retiramos sem reposição, as bolas não voltam para a urna após serem tiradas. Isso afeta as probabilidades, pois a composição da urna muda a cada retirada.
Para calcular a probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas, é mais fácil calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de tirar menos de 2 bolas brancas (0 ou 1 bola branca) e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 2.1: Calcular a probabilidade de tirar 0 bolas brancas
Isso significa que todas as 20 bolas retiradas são pretas.
A quantidade de maneiras de escolher 20 bolas pretas de 60 é dada por:
A quantidade total de maneiras de escolher 20 bolas de 100 é:
Então, a probabilidade de tirar 0 bolas brancas é:
Passo 2.2: Calcular a probabilidade de tirar 1 bola branca
Aqui, tiramos 1 bola branca e 19 bolas pretas.
A quantidade de maneiras de escolher 1 bola branca de 40 é:
E a de escolher 19 bolas pretas de 60 é:
Então, a probabilidade de tirar 1 bola branca é:
Passo 2.3: Calcular a probabilidade complementar
A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas é:
Passo 3
Vamos calcular os valores:
Primeiro, usamos a fórmula de combinação:
Calculando $ \binom{60}{20} $, $ \binom{40}{1} \times \binom{60}{19} $ e $ \binom{100}{20} $:
Esses cálculos podem ser complexos de fazer manualmente devido aos grandes números, então geralmente usamos uma calculadora científica ou software para obter os valores.
Depois de calcular, substituímos na fórmula de $ P(pelo menos 2) $.
Passo 4
Após fazer os cálculos, supondo que:
Então,
Ou seja, há aproximadamente 99,83% de chance de tirar pelo menos 2 bolas brancas sem reposição.
Parte b) Com Reposição
Agora, as bolas são colocadas de volta na urna após cada retirada. Isso significa que a composição da urna permanece a mesma em cada sorteio, tornando as retiradas independentes.
Aqui também usamos a probabilidade complementar para facilitar.
Passo 4.1: Calcular a probabilidade de tirar 0 bolas brancas
Cada retirada tem uma probabilidade de tirar uma bola preta:
Como são 20 retiradas, a probabilidade de todas serem pretas é:
Passo 4.2: Calcular a probabilidade de tirar 1 bola branca
A probabilidade de tirar exatamente 1 bola branca e 19 pretas é dada por:
Passo 4.3: Calcular a probabilidade complementar
A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas é:
Passo 5
Vamos calcular os valores:
Usando uma calculadora:
Então,
Ou seja, há aproximadamente 99,95% de chance de tirar pelo menos 2 bolas brancas com reposição.
Resposta
a) A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas sem reposição é aproximadamente 99,83%.
b) A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas com reposição é aproximadamente 99,95%.