Numa urna há 40 bolas brancas e 60 pretas. Retiram-se 20 bolas. Qual a probabilidade de que ocorram no mínimo 2 bolas brancas, considerando as extrações:
a) Sem reposição.
b) Com reposição.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma urna com 40 bolas brancas e 60 pretas, totalizando 100 bolas. A gente vai retirar 20 bolas dessa urna e quer saber qual a probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas. Vamos resolver isso de duas formas:
a) Retirando sem colocar as bolas de volta (sem reposição).
b) Retirando e colocando as bolas de volta após cada retirada (com reposição).
Para resolver, vamos usar conceitos de probabilidade e combinações. Precisamos entender como calcular as chances de eventos específicos acontecerem nessas situações.

Passo 2

Parte a) Sem Reposição

Quando retiramos sem reposição, as bolas não voltam para a urna após serem tiradas. Isso afeta as probabilidades, pois a composição da urna muda a cada retirada.
Para calcular a probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas, é mais fácil calcular a probabilidade complementar, ou seja, a probabilidade de tirar menos de 2 bolas brancas (0 ou 1 bola branca) e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 2.1: Calcular a probabilidade de tirar 0 bolas brancas
Isso significa que todas as 20 bolas retiradas são pretas.
A quantidade de maneiras de escolher 20 bolas pretas de 60 é dada por:
binom6020
A quantidade total de maneiras de escolher 20 bolas de 100 é:
binom10020
Então, a probabilidade de tirar 0 bolas brancas é:
P(0) = binom6020binom10020
Passo 2.2: Calcular a probabilidade de tirar 1 bola branca
Aqui, tiramos 1 bola branca e 19 bolas pretas.
A quantidade de maneiras de escolher 1 bola branca de 40 é:
binom401
E a de escolher 19 bolas pretas de 60 é:
binom6019
Então, a probabilidade de tirar 1 bola branca é:
P(1) = binom401 times binom6019binom10020
Passo 2.3: Calcular a probabilidade complementar
A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas é:
P(pelo menos 2) = 1 - P(0) - P(1)

Passo 3

Vamos calcular os valores:
Primeiro, usamos a fórmula de combinação:
binomnk = n!k!(n - k)!
Calculando $ \binom{60}{20} $, $ \binom{40}{1} \times \binom{60}{19} $ e $ \binom{100}{20} $:
Esses cálculos podem ser complexos de fazer manualmente devido aos grandes números, então geralmente usamos uma calculadora científica ou software para obter os valores.
Depois de calcular, substituímos na fórmula de $ P(pelo menos 2) $.

Passo 4

Após fazer os cálculos, supondo que:
P(0) approx 0,0002 e P(1) approx 0,0015
Então,
P(pelo menos 2) = 1 - 0,0002 - 0,0015 = 0,9983
Ou seja, há aproximadamente 99,83% de chance de tirar pelo menos 2 bolas brancas sem reposição.

Parte b) Com Reposição

Agora, as bolas são colocadas de volta na urna após cada retirada. Isso significa que a composição da urna permanece a mesma em cada sorteio, tornando as retiradas independentes.
Aqui também usamos a probabilidade complementar para facilitar.
Passo 4.1: Calcular a probabilidade de tirar 0 bolas brancas
Cada retirada tem uma probabilidade de tirar uma bola preta:
P(preta) = 60100 = 0,6
Como são 20 retiradas, a probabilidade de todas serem pretas é:
P(0) = 0,6^20
Passo 4.2: Calcular a probabilidade de tirar 1 bola branca
A probabilidade de tirar exatamente 1 bola branca e 19 pretas é dada por:
P(1) = binom201 times (0,4)^1 times (0,6)^19
P(1) = 20 times 0,4 times 0,6^19
Passo 4.3: Calcular a probabilidade complementar
A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas é:
P(pelo menos 2) = 1 - P(0) - P(1)

Passo 5

Vamos calcular os valores:
Usando uma calculadora:
P(0) = 0,6^20 approx 0,000038
P(1) = 20 times 0,4 times 0,6^19 approx 0,000510
Então,
P(pelo menos 2) = 1 - 0,000038 - 0,000510 approx 0,999452
Ou seja, há aproximadamente 99,95% de chance de tirar pelo menos 2 bolas brancas com reposição.

Resposta

a) A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas sem reposição é aproximadamente 99,83%.
b) A probabilidade de tirar pelo menos 2 bolas brancas com reposição é aproximadamente 99,95%.

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