Um carro sendo testado num posto de inspeção estadual tem probabilidades de 0,70, 0,20 e 0,10 de ser aprovado na primeira, segunda e terceira tentativas, respectivamente. Qual é a probabilidade de que dentre dez carros sendo testados, seis sejam aprovados na primeira tentativa, três sejam aprovados na segunda e um seja aprovado na terceira?

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo testes de aprovação para carros em uma inspeção estadual. O que queremos descobrir é a chance de, entre dez carros testados, exatamente seis serem aprovados na primeira tentativa, três na segunda e um na terceira. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade multinomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de várias categorias acontecerem em um conjunto de experimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Número total de carros (n): 10
  • Probabilidade de aprovação na primeira tentativa (p₁): 0,70
  • Probabilidade de aprovação na segunda tentativa (p₂): 0,20
  • Probabilidade de aprovação na terceira tentativa (p₃): 0,10
  • Número de carros aprovados na primeira tentativa (k₁): 6
  • Número de carros aprovados na segunda tentativa (k₂): 3
  • Número de carros aprovados na terceira tentativa (k₃): 1

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da probabilidade multinomial:
P = n!k1! , k2! , k3! times p1^k1 times p2^k2 times p3^k3
Essa fórmula nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k₁, k₂ e k₃ sucessos em suas respectivas categorias.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Fatorial de n (10!): 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800
  2. Fatoriais de k₁, k₂ e k₃:
    • 6! = 720
    • 3! = 6
    • 1! = 1
  3. Produto dos fatoriais: 720 × 6 × 1 = 4.320
  4. Divisão dos fatoriais: 3.628.800 ÷ 4.320 = 840
  5. Cálculo das probabilidades elevadas aos seus respectivos poderes:
    • (0,70)^6 ≈ 0,117649
    • (0,20)^3 = 0,008
    • (0,10)^1 = 0,10
  6. Produto das probabilidades: 0,117649 × 0,008 × 0,10 ≈ 0,000941192

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os resultados das etapas anteriores:
P = 840 times 0,000941192 approx 0,791

Resposta

A probabilidade de que, dentre dez carros testados, seis sejam aprovados na primeira tentativa, três na segunda e um na terceira é de aproximadamente 0,791 ou 79,1%.

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