Um carro sendo testado num posto de inspeção estadual tem probabilidades de 0,70, 0,20 e 0,10 de ser aprovado na primeira, segunda e terceira tentativas, respectivamente. Qual é a probabilidade de que dentre dez carros sendo testados, seis sejam aprovados na primeira tentativa, três sejam aprovados na segunda e um seja aprovado na terceira?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo testes de aprovação para carros em uma inspeção estadual. O que queremos descobrir é a chance de, entre dez carros testados, exatamente seis serem aprovados na primeira tentativa, três na segunda e um na terceira. Para resolver isso, vamos usar a probabilidade multinomial, que nos ajuda a calcular a probabilidade de várias categorias acontecerem em um conjunto de experimentos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Número total de carros (n): 10
- Probabilidade de aprovação na primeira tentativa (p₁): 0,70
- Probabilidade de aprovação na segunda tentativa (p₂): 0,20
- Probabilidade de aprovação na terceira tentativa (p₃): 0,10
- Número de carros aprovados na primeira tentativa (k₁): 6
- Número de carros aprovados na segunda tentativa (k₂): 3
- Número de carros aprovados na terceira tentativa (k₃): 1
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da probabilidade multinomial:
Essa fórmula nos ajuda a calcular a probabilidade de obter exatamente k₁, k₂ e k₃ sucessos em suas respectivas categorias.
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula:
- Fatorial de n (10!): 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3.628.800
- Fatoriais de k₁, k₂ e k₃:
- 6! = 720
- 3! = 6
- 1! = 1
- Produto dos fatoriais: 720 × 6 × 1 = 4.320
- Divisão dos fatoriais: 3.628.800 ÷ 4.320 = 840
- Cálculo das probabilidades elevadas aos seus respectivos poderes:
- (0,70)^6 ≈ 0,117649
- (0,20)^3 = 0,008
- (0,10)^1 = 0,10
- Produto das probabilidades: 0,117649 × 0,008 × 0,10 ≈ 0,000941192
Passo 5
Finalmente, multiplicamos os resultados das etapas anteriores:
Resposta
A probabilidade de que, dentre dez carros testados, seis sejam aprovados na primeira tentativa, três na segunda e um na terceira é de aproximadamente 0,791 ou 79,1%.