A complexidade das chegadas e partidas em um aeroporto é tanta, que simulações de computadores são utilizadas para modelar as condições ideias. Para certo aeroporto que possui três pistas de decolagem/aterrissagem, sabe-se que, em um cenário ideal, as probabilidades de que as pistas individuais sejam acessadas pela chegada aleatória de voos comerciais são: Pista 1: p1=2 / 9; Pista 2: p2=1 / 6; Pista 3: p3=11 / 18. Qual a probabilidade de que seis aviões chegando aleatoriamente ao aeroporto sejam distribuídos da seguinte maneira? Pista1: 2 aviões; Pista 2: 1 avião; Pista 3: 3 aviões.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um aeroporto com três pistas de decolagem/aterrissagem. As probabilidades de um avião usar cada pista são:
  • Pista 1: $ p_1 = \frac{2}{9} $
  • Pista 2: $ p_2 = \frac{1}{6} $
  • Pista 3: $ p_3 = \frac{11}{18} $
Queremos descobrir a probabilidade de que, ao chegarem 6 aviões, exatamente 2 usem a Pista 1, 1 use a Pista 2 e 3 usem a Pista 3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade multinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a probabilidade multinomial. Ela é usada quando temos mais de duas categorias e queremos saber a probabilidade de ocorrerem determinados números de eventos em cada categoria. A fórmula geral é:
P = n!k1! , k2! , k3! times p1^k1 times p2^k2 times p3^k3
Onde:
  • $ n $ é o número total de eventos (neste caso, 6 aviões).
  • $ k_1, k_2, k_3 $ são os números de eventos em cada categoria (2, 1 e 3 aviões nas pistas 1, 2 e 3, respectivamente).
  • $ p_1, p_2, p_3 $ são as probabilidades de cada categoria.

Passo 3

Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
  • $ n = 6 $
  • $ k_1 = 2 $
  • $ k_2 = 1 $
  • $ k_3 = 3 $
  • $ p_1 = \frac{2}{9} $
  • $ p_2 = \frac{1}{6} $
  • $ p_3 = \frac{11}{18} $

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
P = 6!2! times 1! times 3! times ( 29 )^2 times ( 16 )^1 times ( 1118 )^3

Passo 5

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Fatorial:
    6! = 720, 2! = 2, 1! = 1, 3! = 6
    Então:
    6!2! times 1! times 3! = 7202 times 1 times 6 = 72012 = 60
  2. Potências das probabilidades:
    ( 29 )^2 = 481, ( 16 )^1 = 16, ( 1118 )^3 = 13315832

Passo 6

Agora, multiplicamos todos os componentes:
P = 60 times 481 times 16 times 13315832
Vamos simplificar passo a passo:
  1. Multiplicando 60 por $ \frac{4}{81} $:
    481
  2. Multiplicando o resultado por $ \frac{1}{6} $:
    60 times 481 = 24081
  3. Finalmente, multiplicando por $ \frac{1331}{5832} $:
    16
Para simplificar, calculamos:
24081 times 16 = 240486 = 4081

Resposta

A probabilidade de que seis aviões sejam distribuídos da seguinte maneira—2 na Pista 1, 1 na Pista 2 e 3 na Pista 3—é aproximadamente 0,24 ou 24%.

Exercícios relacionados