A complexidade das chegadas e partidas em um aeroporto é tanta, que simulações de computadores são utilizadas para modelar as condições ideias. Para certo aeroporto que possui três pistas de decolagem/aterrissagem, sabe-se que, em um cenário ideal, as probabilidades de que as pistas individuais sejam acessadas pela chegada aleatória de voos comerciais são: Pista 1:
; Pista 2:
; Pista 3:
. Qual a probabilidade de que seis aviões chegando aleatoriamente ao aeroporto sejam distribuídos da seguinte maneira? Pista1: 2 aviões; Pista 2: 1 avião; Pista 3: 3 aviões.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um aeroporto com três pistas de decolagem/aterrissagem. As probabilidades de um avião usar cada pista são:
- Pista 1: $ p_1 = \frac{2}{9} $
- Pista 2: $ p_2 = \frac{1}{6} $
- Pista 3: $ p_3 = \frac{11}{18} $
Queremos descobrir a probabilidade de que, ao chegarem 6 aviões, exatamente 2 usem a Pista 1, 1 use a Pista 2 e 3 usem a Pista 3. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade multinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a probabilidade multinomial. Ela é usada quando temos mais de duas categorias e queremos saber a probabilidade de ocorrerem determinados números de eventos em cada categoria. A fórmula geral é:
Onde:
- $ n $ é o número total de eventos (neste caso, 6 aviões).
- $ k_1, k_2, k_3 $ são os números de eventos em cada categoria (2, 1 e 3 aviões nas pistas 1, 2 e 3, respectivamente).
- $ p_1, p_2, p_3 $ são as probabilidades de cada categoria.
Passo 3
Vamos identificar os valores que vamos usar na fórmula:
- $ n = 6 $
- $ k_1 = 2 $
- $ k_2 = 1 $
- $ k_3 = 3 $
- $ p_1 = \frac{2}{9} $
- $ p_2 = \frac{1}{6} $
- $ p_3 = \frac{11}{18} $
Passo 4
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Fatorial:Então:
-
Potências das probabilidades:
Passo 6
Agora, multiplicamos todos os componentes:
Vamos simplificar passo a passo:
-
Multiplicando 60 por $ \frac{4}{81} $:
-
Multiplicando o resultado por $ \frac{1}{6} $:
-
Finalmente, multiplicando por $ \frac{1331}{5832} $:
Para simplificar, calculamos:
Resposta
A probabilidade de que seis aviões sejam distribuídos da seguinte maneira—2 na Pista 1, 1 na Pista 2 e 3 na Pista 3—é aproximadamente 0,24 ou 24%.