Caixas descem por uma rampa inclinada com um ângulo theta em relação à horizontal. Se a velocidade for maior que 2,5 m / s quando atingir a base da rampa, o conteúdo dessas caixas podem quebrar. Qual é o maior ângulo em que você pode ajustar essa rampa com segurança? A rampa tem 1 m de altura na parte mais alta e sua superfície pode ser considerada sem atrito.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos caixas que descem por uma rampa inclinada com um ângulo theta em relação à horizontal. Se a velocidade dessas caixas na base da rampa for maior que 2,5 m/s, o conteúdo pode quebrar. A rampa tem 1 metro de altura e não há atrito na superfície.
Conteúdo da Matéria Envolvido
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de cinemática e conservação de energia. Precisaremos entender como a energia potencial se transforma em energia cinética ao descer a rampa e como isso relaciona-se com a velocidade final das caixas.

Passo 2

Aplicando a Conservação de Energia
Como não há atrito na rampa, a energia potencial das caixas no topo será totalmente convertida em energia cinética na base da rampa. A fórmula da conservação de energia é:
mgh = 12mv^2
Onde:
  • m é a massa das caixas (que, nesse caso, não é necessária para o cálculo final).
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8 m/s^2).
  • h é a altura da rampa (1 metro).
  • v é a velocidade final das caixas.

Passo 3

Isolando a Velocidade Final
Vamos isolar a velocidade v na equação para encontrar a relação entre a altura da rampa e a velocidade:
mgh = 12mv^2 gh = 12v^2 v^2 = 2gh v = raiz2gh

Passo 4

Calculando a Velocidade Final
Substituindo os valores conhecidos na equação:
v = raiz2 times 9,8 m/s^2 times 1 m v = raiz19,6 v approx 4,43 m/s

Passo 5

Comparando com a Velocidade Máxima Permitida
A velocidade calculada ( 4,43 m/s) é maior que a velocidade máxima permitida para que as caixas não quebrem ( 2,5 m/s). Isso significa que, independente do ângulo da rampa, desde que a altura seja de 1 metro e não haja atrito, as caixas sempre atingirão uma velocidade maior que o permitido.

Resposta

Não é possível ajustar o ângulo da rampa de 1 metro de altura de forma que a velocidade das caixas na base seja igual ou inferior a 2,5 m/s, já que, independentemente do ângulo, a velocidade final será aproximadamente 4,43 m/s. Portanto, não existe um ângulo seguro para essa condição sem a presença de atrito.

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