Um menino está inicialmente sentado no alto de um monte hemisférico de gelo de raio
. Ele começa a deslizar para baixo com uma velocidade inicial desprezível. Em que altura o menino para?
Passo 1
Vamos resumir o problema: um menino está no topo de um monte hemisférico de gelo com raio
. Ele começa a deslizar para baixo sem velocidade inicial. Queremos descobrir em que altura ele para de deslizar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e dinâmica de movimentos circulares. Precisamos entender como a energia do menino se transforma enquanto ele desliza e em que ponto as forças agindo sobre ele fazem com que ele pare de seguir o morro.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a conservação da energia mecânica. No ponto inicial, toda a energia do menino é potencial gravitacional, já que a velocidade inicial é desprezível.
A energia potencial inicial (
) é dada por:
onde:
-
é a massa do menino, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura inicial.
Ao deslizar para baixo até uma altura
, a energia potencial diminui para:
E a energia cinética (
) adquirida é:
Pela conservação de energia:
Simplificando, cancelamos
:
Passo 3
Agora, vamos analisar a dinâmica do movimento circular. Enquanto o menino desliza pelo morro, ele está em curva, o que exige uma força centrípeta para manter seu movimento na trajetória curva.
A força centrípeta (
) necessária é:
As forças atuando sobre o menino são:
- A componente do peso na direção radial:
- A força normal (
) do morro.
Quando o menino perde contato com o morro, a força normal
se torna zero. Então, a condição para ele perder contato é:
Cancelando
:
Substituindo
da equação anterior:
Simplificando:
Passo 4
Para relacionar
com a altura
, usamos a geometria da esfera. Quando o menino está a uma altura
, o ângulo
está relacionado por:
Então, igualando as duas expressões:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Somando
em ambos os lados:
Resposta
O menino para a uma altura de
.