Um menino está inicialmente sentado no alto de um monte hemisférico de gelo de raio R=13,8 m. Ele começa a deslizar para baixo com uma velocidade inicial desprezível. Em que altura o menino para?

Passo 1

Vamos resumir o problema: um menino está no topo de um monte hemisférico de gelo com raio R = 13,8,m. Ele começa a deslizar para baixo sem velocidade inicial. Queremos descobrir em que altura ele para de deslizar.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e dinâmica de movimentos circulares. Precisamos entender como a energia do menino se transforma enquanto ele desliza e em que ponto as forças agindo sobre ele fazem com que ele pare de seguir o morro.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a conservação da energia mecânica. No ponto inicial, toda a energia do menino é potencial gravitacional, já que a velocidade inicial é desprezível.
A energia potencial inicial ( Ui) é dada por:
Ui = mghi
onde:
  • m é a massa do menino,
  • g é a aceleração da gravidade ( 9,8,m/s^2),
  • hi = R = 13,8,m é a altura inicial.
Ao deslizar para baixo até uma altura h, a energia potencial diminui para:
U = mgh
E a energia cinética ( K) adquirida é:
K = 12mv^2
Pela conservação de energia:
Ui = U + K Rightarrow mghi = mgh + 12mv^2
Simplificando, cancelamos m:
ghi = gh + 12v^2 Rightarrow v^2 = 2g(hi - h)

Passo 3

Agora, vamos analisar a dinâmica do movimento circular. Enquanto o menino desliza pelo morro, ele está em curva, o que exige uma força centrípeta para manter seu movimento na trajetória curva.
A força centrípeta ( Fc) necessária é:
Fc = mv^2R
As forças atuando sobre o menino são:
  • A componente do peso na direção radial: mgcostheta
  • A força normal ( N) do morro.
Quando o menino perde contato com o morro, a força normal N se torna zero. Então, a condição para ele perder contato é:
mgcostheta = mv^2R
Cancelando m:
gcostheta = v^2R
Substituindo v^2 da equação anterior:
gcostheta = 2g(R - h)R Rightarrow costheta = 2(R - h)R
Simplificando:
costheta = 2(1 - hR)

Passo 4

Para relacionar costheta com a altura h, usamos a geometria da esfera. Quando o menino está a uma altura h, o ângulo theta está relacionado por:
costheta = hR
Então, igualando as duas expressões:
hR = 2(1 - hR)
Multiplicando ambos os lados por R:
h = 2(R - h)
Expandindo:
h = 2R - 2h
Somando 2h em ambos os lados:
3h = 2R Rightarrow h = 23R

Resposta

O menino para a uma altura de 23 times 13,8,m approx 9,2,m.

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