Você dirige por uma estrada interestadual desde San Antonio até Houston, metade do tempo a 35,0 mi / h(=56,3 km / h) e a outra metade a 55,0 mi / h(=88,5 km / h). Na viagem de retorno, você dirige a primeira metade a 35,0 mi / h e a outra metade a 55,0 mi / h. Qual é a média da intensidade de velocidade (a) desde San Antonio até Houston, (b) no retorno de Houston até San Antonio, e © de toda à viagem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma viagem de ida e volta entre San Antonio e Houston, onde você dirige metade do tempo a 35 mi/h e a outra metade a 55 mi/h na ida, e metade da distância a cada velocidade na volta. Vamos precisar conhecer um pouco sobre velocidade média e como calcular quando temos diferentes velocidades em partes iguais do tempo ou da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo tempo total gasto na viagem. Para calcular isso, precisamos saber a distância total e o tempo total.

Passo 3

Parte (a): Média da velocidade na ida (San Antonio até Houston)
Na ida, você dirige metade do tempo a 35 mi/h e a outra metade a 55 mi/h. Vamos supor que o tempo total da ida seja $ T $ horas. Então, você dirige $ \frac{T}{2} $ horas a 35 mi/h e $ \frac{T}{2} $ horas a 55 mi/h.
Agora, vamos calcular a distância percorrida em cada parte:
  • Distância percorrida a 35 mi/h: $ D_1 = 35 \times \frac{T}{2} = \frac{35T}{2} $
  • Distância percorrida a 55 mi/h: $ D_2 = 55 \times \frac{T}{2} = \frac{55T}{2} $
A distância total $ D_{total} = D_1 + D_2 = \frac{35T}{2} + \frac{55T}{2} = \frac{90T}{2} = 45T $
A velocidade média $ V_{média} = \frac{D_{total}}{T} = \frac{45T}{T} = 45 $ mi/h

Passo 4

Parte (b): Média da velocidade na volta (Houston até San Antonio)
Na volta, você dirige metade da distância a 35 mi/h e a outra metade a 55 mi/h. Vamos supor que a distância total da ida e volta seja $ D $ milhas. Então, na volta, você dirige $ \frac{D}{2} $ milhas a cada velocidade.
Vamos calcular o tempo gasto em cada parte:
  • Tempo gasto a 35 mi/h: $ T_1 = \frac{\frac{D}{2}}{35} = \frac{D}{70} $ horas
  • Tempo gasto a 55 mi/h: $ T_2 = \frac{\frac{D}{2}}{55} = \frac{D}{110} $ horas
O tempo total na volta $ T_{total} = T_1 + T_2 = \frac{D}{70} + \frac{D}{110} $
Para somar as frações, encontramos o mínimo múltiplo comum de 70 e 110, que é 770.
$ T_{total} = \frac{11D}{770} + \frac{7D}{770} = \frac{18D}{770} = \frac{9D}{385} $ horas
A velocidade média na volta $ V_{média} = \frac{D}{T_{total}} = \frac{D}{\frac{9D}{385}} = \frac{385}{9} \approx 42,78 $ mi/h

Passo 5

Parte ©: Média da velocidade em toda a viagem
Para encontrar a velocidade média de toda a viagem, precisamos considerar a distância total e o tempo total gasto.
Vamos considerar a ida e a volta:
  • Distância total: $ D_{total} = D + D = 2D $
  • Tempo total: Tempo da ida + Tempo da volta = $ T + \frac{9D}{385} $
Sabemos da parte (a) que na ida, $ V_{média} = 45 $ mi/h, então $ D = 45T $
Substituindo na expressão do tempo total:
$ T_{total} = T + \frac{9(45T)}{385} = T + \frac{405T}{385} = T \left(1 + \frac{405}{385}\right) = T \left(\frac{385 + 405}{385}\right) = T \left(\frac{790}{385}\right) = \frac{790T}{385} $
Agora, a velocidade média de toda a viagem:
$ V_{média} = \frac{2D}{\frac{790T}{385}} = \frac{2 \times 45T}{\frac{790T}{385}} = \frac{90T}{\frac{790T}{385}} = 90 \times \frac{385}{790} = \frac{90 \times 385}{790} \approx 43,99 $ mi/h

Resposta

(a) A média da velocidade na ida é 45 , mi/h.
(b) A média da velocidade na volta é aproximadamente 42,78 , mi/h.
© A média da velocidade em toda a viagem é aproximadamente 43,99 , mi/h.

Exercícios relacionados