Cal ule a integral tripla exatamente
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{\operatorname{sen} x} \int_{z-x}^{z+x} e^{2}(5 y+2 z) d y d z d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{2}\int_{-1}^{\sin x}\int_{\,z - x}^{\,z + x}e^{2}\bigl(5y+2z\bigr)\,dy\,dz\,dx.
O conteúdo envolvido é integral múltipla (Fubini) e técnicas básicas de integração (polinômio em y, identidade trigonométrica e integração por partes).

Passo 2

Começamos pela integral interna em y, deixando e^{2} de fora por ser constante:
\int_{y=z-x}^{z+x}(5y+2z)\,dy.
Uma primitiva de 5y+2z em y é
\frac{5}{2}y^2+2z\,y.
Avaliando em y=z+x e em y=z-x obtemos
\Bigl[\tfrac{5}{2}(z+x)^2+2z(z+x)\Bigr] -\Bigl[\tfrac{5}{2}(z-x)^2+2z(z-x)\Bigr] =14\,z\,x.
Logo a integral interna vale e^{2}\cdot14zx.

Passo 3

Agora a integral fica
\int_{0}^{2}\int_{-1}^{\sin x}e^{2}\,14\,z\,x\,dz\,dx =14e^{2}\int_{0}^{2}x\Bigl[\int_{-1}^{\sin x}z\,dz\Bigr]dx.
Calculando \int_{-1}^{\sin x}z\,dz=\tfrac12\bigl(\sin^2x-1\bigr) =-\tfrac12\cos^2x, temos
14e^{2}\int_{0}^{2}x\Bigl(-\tfrac12\cos^2x\Bigr)\,dx =-7e^{2}\int_{0}^{2}x\cos^2x\,dx.

Passo 4

Para \int_{0}^{2}x\cos^2x\,dx usamos \cos^2x=\tfrac{1+\cos2x}{2}:
\int x\cos^2x\,dx =\frac12\int x\,dx+\frac12\int x\cos2x\,dx =\frac{x^2}{4}+\frac12\Bigl[\tfrac{x}{2}\sin2x+\tfrac{1}{4}\cos2x\Bigr]
avaliando de 0 a 2 resulta
\Bigl(1+\tfrac12\sin4+\tfrac{1}{8}\cos4\Bigr)-\tfrac18 =\tfrac{7}{8}+\tfrac12\sin4+\tfrac{1}{8}\cos4.

Resposta

Multiplicando por -7e^{2} vem
-\;7e^{2}\Bigl(\tfrac{7}{8}+\tfrac12\sin4+\tfrac{1}{8}\cos4\Bigr) =-\frac{7e^{2}}{8}\bigl(7+4\sin4+\cos4\bigr).

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