Determine, mas não calcule, expressões integrais para o centro de massa do sólido limitado pelo paraboloide x=4 y^{2}+4 x^{2} e pelo plano x=4 com função densidade \rho(x, y, z)=x^{2}+x^{2}+z^{2}

Passo 1

O enunciado pede as expressões integrais para o centro de massa de um sólido V limitado pelo paraboloide
x = 4y^{2} + 4z^{2}
e pelo plano
x = 4,
com densidade \rho(x,y,z)=x^{2}+x^{2}+z^{2}. Note que há uma repetição de x^{2}, então vamos interpretar
\rho(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
O conteúdo é centro de massa em coordenadas tridimensionais, e precisaremos das fórmulas
M = \iiint_{V} \rho(x,y,z)\,dV, \quad \overline{x} = \frac{1}{M}\,\iiint_{V} x\,\rho(x,y,z)\,dV, \quad \overline{y} = \frac{1}{M}\,\iiint_{V} y\,\rho(x,y,z)\,dV, \quad \overline{z} = \frac{1}{M}\,\iiint_{V} z\,\rho(x,y,z)\,dV.

Passo 2

Para parametrizar V de modo conveniente, observe que o paraboloide abre ao longo do eixo x. No plano (y,z) temos a condição
4y^{2}+4z^{2} \le 4 \quad\Longleftrightarrow\quad y^{2}+z^{2}\le 1.
Logo, em coordenadas cilíndricas no plano (y,z):
y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta, \quad 0\le r\le 1,\quad 0\le\theta\le2\pi.
Para cada (r,\theta), x varia de x=4r^{2} até x=4. O Jacobiano é r.

Passo 3

Na nova parametrização temos
\rho(x,y,z) = x^{2} + r^{2}, \quad dV = r\,dx\,dr\,d\theta.
Escrevemos então o total da massa M como
M = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{x=4r^{2}}^{4} \bigl(x^{2}+r^{2}\bigr)\,r \,dx\,dr\,d\theta.
O momento em x é
\iiint_{V} x\,\rho\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} x\,\bigl(x^{2}+r^{2}\bigr)\,r \,dx\,dr\,d\theta.
O momento em y é
\iiint_{V} y\,\rho\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} (r\cos\theta)\,\bigl(x^{2}+r^{2}\bigr)\,r \,dx\,dr\,d\theta,
e em z é
\iiint_{V} z\,\rho\,dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} (r\sin\theta)\,\bigl(x^{2}+r^{2}\bigr)\,r \,dx\,dr\,d\theta.

Passo 4

Por simetria em \theta, temos
\int_{0}^{2\pi} r^{2}\cos\theta\,d\theta = 0, \quad \int_{0}^{2\pi} r^{2}\sin\theta\,d\theta = 0,
logo \displaystyle \iiint_{V} y\,\rho\,dV = 0 e \displaystyle \iiint_{V} z\,\rho\,dV = 0.
Assim \overline{y}=0 e \overline{z}=0.

Passo 5

As coordenadas do centro de massa são então
\overline{x} = \frac{1}{M} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} x\,(x^{2}+r^{2})\,r \,dx\,dr\,d\theta, \quad \overline{y}=0, \quad \overline{z}=0.

Resposta

M = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} \bigl(x^{2}+r^{2}\bigr)\,r \,dx\,dr\,d\theta,
\overline{x} = \frac{1}{M} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \int_{4r^{2}}^{4} x\,(x^{2}+r^{2})\,r \,dx\,dr\,d\theta, \quad \overline{y}=0, \quad \overline{z}=0.

Exercícios relacionados